6. Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить?
7. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.
8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?
Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 5·4=20 способами.
9. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются?
Решение: чтобы записать двузначное число, надо выбрать цифру десятков и цифру единиц. Согласно условию на месте десятков в записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5. другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число – это упорядоченная пара, состоящая из цифр десятков и цифр единиц, то ее выбор, согласно правилу произведения, можно осуществить 3·2=6 способами.
10. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 3·3·3=27 способами.
11. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?
Решение: Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Цифру десятков можно выбрать двумя способами, цифру единиц – двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1·2·2·2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.
12. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?
Решение: Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор можно также осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5·5·4 = 100 способами.
13. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
14. Сколько можно составить пар, выбирая:
а) первый предмет из 4, а второй из 8;
б) первый предмет из 6, а второй из 3;
в) первый предмет из 15, а второй из 12;
15. В школе есть все классы с 1 по 11. каждый из них имеет дополнительную букву «а», «б», «в», «г» или «д». сколько всего классов в этой школе?
16. на каждом барабане игрального автомата изображены символы: «вишня», «лимон» и числа от 1 до 9. автомат имеет три одинаковых барабана, которые вращаются независимо друг от друга. Сколько всего комбинаций может выпасть?
17. Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше – подаренных открыток или подаренных гвоздик?
18. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?
19. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).
20. Составьте все возможные двузначные числа, используя в записи указанные цифры не более одного раза:
а) 1, 6, 8; б)0, 3, 4.
21. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:
а) цифры в числе не повторяются;
б) допускается повторение цифр в числе.
22. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.
23. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
24. В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?
25. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
26. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 человека?
27. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7, 7-3, 8-8 и т.п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодовых замков для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?
28. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?
29. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать ответ, состоящий из первого, второго и третьего блюд?
Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.
30. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы и две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
2. Перестановки
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки.
Рассмотрим пример 1. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).
Мы установили, что Р3 = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.
Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.
Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что
Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.
Расположив множители в порядке возрастания, получим
Pn = 1·2·3·…·(n-2)(n-1)n.
Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).
Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n!
Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.
По определению считают, что 1!=1.
Применение данной формулы иллюстрируется в пособии следующими примерами.
Пример 2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8 = 8!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.
Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.
Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р4 – Р3. Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.
Пример 4. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.