Разработка технологий повторения темы Логика высказываний (стр. 21 из 24)

20) Сформулируйте отрицания следующих высказываний в утвердительной форме, т.е. так, чтобы они не начинались со слов «неверно, что».

Образец: «Если летом будет дождливая погода, то ни купаться, ни загорать нам не удастся».

Решение: Обозначим высказывания: А – «Летом будет дождливая погода», В - «Нам удастся загорать», С – «Нам удастся накупаться». Тогда исходное высказывание имеет формулу:

Составим его отрицание и упростим его:

Эта формула соответствует высказыванию «Летом будет дождливая погода и нам удастся либо накупаться, либо загорать».

a) Если я поздно приду на остановку и не смогу сесть в автобус, то опоздаю на занятия и пропущу интересную лекцию.

b) Если завтра будет воскресенье или в институте не будет занятий, то ко мне придут друзья и мы послушаем музыку.

c) После обеда я отправлюсь на прогулку в парк или, если ко мне зайдет приятель, буду играть с ним в шахматы или мы посмотрим кино.

21) Следующие предложения запишите в виде логической формулы.

а) Только одно из высказываний А,В и С истинно;

б) По крайней мере одно из высказываний А, В и С истинно;

в) Только одно из высказываний А, В и С ложно;

г) Только два из высказываний А, В и С истинны;

д) Только два из высказываний А, В и С ложны.

22) Проверить, составляя таблицы истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными:

а)

; б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

23) Показать, что формулы

имеют ту же таблицу истинности, что и импликация

24) Докажите равносильность следующих формул:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

25) Упростите формулы, т.е. замените их на равносильные формулы более простого вида:

а)

б)

в)

;

г)

д)

26) Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:

а)

б)

в)

г)

27) Разберитесь в предложенном доказательстве равносильности формул. Около каждого знака = укажите закон, который применен:

Доказательство:

28) Выразите все основные операции через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

29) Выпишите все формулы, входящие в формулу:

30) Формализуйте следующие высказывания:

1) 2 –простое число и 3 – простое число;

2) Ломоносов – великий ученый и талантливый поэт;

3) Число п делится на 2 или на 3;

4) Высказывание А истинно или ложно;

5) Скрещивающиеся прямые не лежат на одной плоскости;

6) Неверно, что две стороны трапеции конгруэнтны и параллельны;

7) 100 не делится ни на 3, ни на 7;

8) Я сделаю зарядку и, если будет хорошая погода, поеду за город;

9) Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны и все углы конгруэнтны;

10) Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они не имеют общих точек или совпадают.

31) Формализуйте следующие высказывания:

1) «Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал, обязательно живи в определенном месте» (Конфуций).

2) «Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть, или ее нет» (О. Бальзак. Отец Горио).

3) «Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как внушив людям, что, если они выскажут тебе всю правду, ты не будешь на них в обиде, но, когда каждый сможет говорить тебе правду, тебе перестанут оказывать должное почтение» (Н. Макиавелли. Государь).

4) «Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ на зло лежит на всемогущем боге, либо мы свободны и ответственны, а бог не всемогущ» (А. Камю. Бунтующий человек).

5) Желание возникает из разума, только если оно может быть чрезмерным.

33) Для каждой формулы придумайте два формализуемых ее высказывания:

34) Составьте таблицы истинности для формул:

35) Сформулируйте предложения, которые, согласно законам де Моргана, выражают то же, что и следующие высказывания:

1) Неверно, что треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный;

2) Неверно, что число 9 – четное или простое;

3) Неверно, что каждое из чисел т и п четно;

4) Неверно, что хотя бы одно из чисел r и s – простое;

5) Я не высплюсь или опоздаю.

36) Перечислите равносильности, использованные при следующих упрощениях:

37) Упростите следующие формулы с помощью законов склеивания:

38) Сформулируйте теорему «Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю», заменив связку «если…, то…» связками «или» и «не».

39) Сформулируйте предложение «Две формулы равносильны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые таблицы истинности», заменив связку «тогда и только тогда, когда» связками:

а) «и» и «если…, то…»;

б) «и»,«или» и «не»;

в) «или» и «не».

40) Студент решил в каникулы прочитать не менее двух книг, сходить в театр или на концерт и, если выпадет снег, съездить за город на лыжную прогулку. В каком случае можно считать, что он свое решение не выполнил?

41) В одном спортивном клубе были приняты такие правила:

1) члены волейбольной секции обязаны заниматься и в секции плавания;

2) нельзя состоять одновременно в шахматной секции и в секции плавания, не занимаясь в волейбольной секции;

3) ни один член шахматной секции не может состоять в волейбольной секции.

Упростите эти правила.

42) Формализуйте с помощью штриха Шеффера предложения:

1) Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны и не параллельны;

2) Неверно, что функция f – четная и возрастающая на множестве всех действительных чисел.

43) Выразите через штрих Шеффера:

а) дизъюнкцию,

б) импликацию,

в) эквивалентность.

44) Какое предложение соответствует формуле

если Х означает «Петр едет на Урал», а Y – «Николай едет в Сибирь».