Разработка технологий повторения темы Логика высказываний (стр. 2 из 24)
Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыванием, так как объективно оно либо истинное, либо ложное, хотя никто пока не знает, какое именно.
Предложения «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», а2=4 не являются высказываниями; для того чтобы имело смысл говорить об их истинности или ложности, нужны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обозначено буквой а. В последнем примере а может не обозначать конкретного числа, а быть переменной, т.е. буквой, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множества, называемые значениями переменной. Пусть например, {-2; 0; 2, 3, 4} — множество значений переменной а. Каждому значению переменной соответствует либо истинное, либо ложное высказывание; например, высказывания (-2)2=4, 22=4 истинны, а высказывания 02=4, 32=4, 42=4 ложны.
Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называют высказывательной формой.
Высказывание, представляющее собой одно утверждение принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказывании могут служить высказывания 1) и 3). Элементарные высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: A,B,C… X,Y,Z или a,b,c…x,y,z. Если высказывание А истинно, то будем писать А=1; если ложно А=0.
Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью логических связок «не», «и», «или», «если ..., то...», «тогда и только тогда, когда…», «не…и не…», «не…или не…» принято называть сложными или составными. Так, высказывание 4) получается из простого высказывания «Курица - птица» с помощью отрицания «не». Высказывание 5) образовано из элементарных «число 8 делится на 2», «число 8 делится на 4», соединенных союзом «и». Аналогично сложные высказывания «Я пойду в школу или в кино» получается из простых высказываний «Я пойду в кино», «Я пойду в школу» с помощью грамматической связки «или» /2, 4, 6/.
1.1.3 Логические операции над высказываниями
Для написания этого раздела использовалась литература /2, 5, 7,8/.
Роль союзов в русском языке, с помощью которых из простых предложений формируются сложные, в логике высказываний играют логические связки, называемые также логическими операциями. Рассмотрим основные из них в применении к высказываниям.
1) Отрицание
Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания, соответствующая в русском языке частице "не".
Эту операцию обозначают символом "
" (или " 
")Определение: Если А - некоторое высказывание, то
(читается "не А" или "неверно, что А") - новое, сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.Пример: А – “идет дождь”,
- “не идет дождь”.Действие этой операции можно представить в виде следующей символической таблицы, которую будем называть таблицей истинности данной логической операции (или связки):
Именно эту таблицу (ее надо читать по строкам: "если А=1, то
=0", т.е. одновременно А истинно и ложно) мы и приняли в качестве определения операции отрицания. Подобными таблицами истинности мы будем пользоваться и при определении других логических операций.2) Конъюнкция
Следующая логическая операция – конъюнкция (логическое умножение), соответствующая союзу "и" русского языка.
Обозначается конъюнкция символом "
" (" 
" или "&"), который ставится между высказываниями.Определение: Если А и В - высказывания, то А
В - сложное высказывание (читается "А и В"), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания А и В. Высказывания А и В при этом называются конъюнктивными членами или членами данной конъюнкции.Пример. А - ''лиса - хищное животное", В - "медведь меньше лисы", С – «Лондон - столица Англии»; А
В – «лиса - хищное животное, и медведь меньше лисы» - ложное высказывание; А С – «лиса - хищное животное, и Лондон - столица Англии» - истинное высказывание.Таблица истинности для операции конъюнкции выглядит следующим образом:
| А | В | А В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
В этой таблице каждая строка показывает, истинна или ложна конъюнкция при данном наборе истинных или ложных конъюнктивных членов.
3) Дизъюнкция
Аналог в русском языке для следующей логической операции - союз «или». Но в русском языке этот союз имеет несколько довольно далеких друг от друга значений.
Примеры: "Здесь близко река или озеро" - союз "или" в соединительном (неисключающем) смысле; "Или он останется, или я" - "или" в разделительном (исключающем) смысле; "Самолет, или аэроплан, есть летательный аппарат тяжелее воздуха" - "или" в пояснительном смысле и т.д.
В математике, как правило, используется неисключающее "или", что приводит к логической операции дизъюнкции (логическое сложение), обозначаемой символом "
".Определение: Если А и В - высказывания, то А
В - сложное высказывание (читается "А или В"), которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В. Высказывания А и В называют при этом дизъюнктивными членами.Пример: А - "3<6", В - "5>1", А
В - "3<6 или 5>1" - истинное высказывание.Таблица истинности для операции дизъюнкции выглядит следующим образом:
| А | В | А В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
4) Импликация
Из всех логических операций наиболее сложной для восприятия является, пожалуй, импликация. Ее ближайший аналог в русском языке - оборот "если..., то...". Обозначать эту операцию будем так: "А
В".Одна из проблем, связанных с восприятием импликации - использование этого оборота в нескольких разных значениях.
Пример: а) "Если меня не обманывает зрение, то это Иван Иванович"; "Если треугольник - прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора" - условное значение оборота " если ... , то ...";
б) "Если на севере промышляли больше охотой, то на юге основу хозяйства составляло земледелие" - противопоставительное значение;
в) "Если сэр Вальтер Скотт не написал ни одного романа, то не было гражданской войны в США" - контрфактическое условное значение и т.д.
Мы будем ориентироваться только на первое значение этого оборота - условное.
Но и в этом случае полной аналогии нет, поскольку в русском языке оборот "если..., то..." подразумевает наличие причинной связи.
В математической же логике речь может идти только об истинности или ложности всего сложного высказывания в целом. Поэтому единственным "логичным" требованием к высказыванию "если А, то В" является недопустимость ситуации, когда А истинно, а В ложно.
В результате истинными могут оказаться сложные высказывания "Если в доме пять этажей, то в квартире номер три проживает Иванов" или "Если 1+1
2, то Рим есть столица Франции", а то и еще более "удивительные" высказывания.Перейдем к точному определению и его обсуждению.
Определение: Если А и В - высказывания, то А
В (читается "если А, то В", "из А следует В", "А влечет В", "А имплицирует В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.Пример: Пусть Р означает "2
2=4", Q - " снег бел", 
-"2 2=5", 
- "снег черен". Тогда высказывания P Q, 
и 
истинны, a 
- ложно.