Теория игр и её практическое применение (стр. 4 из 5)
Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п. [8].
3.3 Применение в прочих областях
В биологии
Очень важное направление — это попытки применить теорию игр в биологии и понять, как сама эволюция строит оптимальные стратегии. Здесь, в сущности, тот же метод, который помогает нам объяснить человеческое поведение. Ведь теория игр не говорит, что люди всегда действуют осознанно, стратегически, рационально. Скорее речь идет об эволюции определенных правил, которые дают более полезный результат, если их придерживаться. То есть люди зачастую не просчитывают свою стратегию, она постепенно формируется сама по мере накопления опыта. Эта идея воспринята теперь и в биологии.
В компьютерных технологиях
Еще больше востребованы исследования в сфере компьютерных технологий, например анализ аукционов, которые проводятся компьютерами в автоматическом режиме. Кроме того, теория игр сегодня позволяет еще раз задуматься над тем, как работают компьютеры, каким образом строится кооперация между ними. Скажем, серверы в сети можно рассматривать как игроков, которые пытаются скоординировать свои действия.
В играх (шахматы)
Шахматы — это предельный случай теории игр, поскольку все, что вы делаете, направлено исключительно на вашу победу и вам не нужно заботиться о том, как на это отреагирует партнер. Достаточно убедиться, что он не сможет отреагировать эффективно. То есть это игра с нулевой суммой. И конечно, в других играх культура может иметь определенное значение.
Примеры из другой области
Теория игр используется при поиске подходящей пары донора и реципиента почки. Один человек хочет отдать почку другому, но оказывается, что их группы крови несовместимы. И что следует сделать в этом случае? Прежде всего – расширить список доноров и реципиентов, а потом применить методы подбора, которые дает теория игр. Это очень похоже на брак по расчету. Вернее, на брак это совсем не похоже, но математическая модель этих ситуаций одинакова, применяются те же методы и расчеты. Сейчас на идеях таких теоретиков, как Дэвид Гейл, Ллойд Шапли и другие, выросла настоящая индустрия – практические применения теории в кооперативных играх.
3.4 Почему теорию игр не применяют еще шире
И в политике, и в экономике, и в военном деле специалисты-практики натолкнулись на принципиальные ограничения фундамента современной теории игр – Нэшевской рациональности.
Во-первых, человек не настолько совершенен, чтобы все время мыслить стратегически. Для преодоления этого ограничения теоретики начали исследовать эволюционные формулировки равновесия, для которых свойственны более слабые допущения по уровню рациональности.
В-вторых, исходные предпосылки теории игр по информированности игроков о структуре игры и платежах в реальной жизни соблюдаются не так часто, как хотелось бы. Теория игр весьма болезненно реагирует на малейшие (с точки зрения обывателя) изменения в правилах игры резкими сдвигами в предсказываемых равновесиях.
Как следствие этих проблем, современная теория игр находится в "плодотворном тупике". Лебедь, рак и щука предлагаемых решений тянут теорию игр в разные стороны. По каждому направлению пишутся десятки работ... однако "воз и ныне там".
Примеры задач
Определения, необходимые для решения задач
1. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.
2. Игра - это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремиться к достижению собственных целей.
3. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.
4. Количественная оценка результатов игры называется платежом.
5. Игра называется парной, если в ней участвуют только две стороны (два лица).
6. Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.
7. Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.
8. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).
Пусть имеются два игрока, один из которых может выбрать i-ю стратегию из m возможных стратегий (i=1,m), а второй, не зная выбора первого, выбирает j-ю стратегию из n возможных стратегий (j=1,n) В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину.
Из чисел aij составим матрицу
Строки матрицы A соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго. Эти стратегии называются чистыми.
9. Матрица A называется платежной (или матрицей игры).
10. Игру, определяемую матрицей A, имеющей m строк и n столбцов, называют конечной игрой размерности m x n.
11. Число
называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.12. Число
называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия (столбец) - минимаксной.13. Если α=β=v, то число v называется ценой игры.
14. Игра, для которой α=β, называется игрой с седловой точкой.
Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегией, которые являются оптимальными.
Если игра, заданная матрицей, не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используют смешанные стратегии.
Задачи
1.Орлянка. Это игра с нулевой суммой. Принцип состоит в том, что, когда игроки выбирают одинаковые стратегии, то первый выигрывает один рубль, а когда разные – проигрывает один рубль.
Если рассчитывать стратегии по принципу maxmin и minmax, то можно увидеть, что нельзя высчитать оптимальную стратегию, в этой игре вероятности проигрыша и выигрыша равны.
| игра ОРЛЯНКА | игрок В | ||
| орел | Решка | ||
| игрок А | Орел | 1 | -1 |
| решка | -1 | 1 | |
Min
-1
-1
Max = -1
Max 1 1
Min = 1
2. Числа. Суть игры состоит, в том, что каждый из игроков загадывает целые числа от 1 до 4, причем выигрыш первого игрока равен разности загаданного им числа и числа, загаданного другим игроком.
| имена | Игрок В | ||||
| Игрок А | стратегии | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | |
| 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | |
| 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
Решаем задачу по теории maxmin и minmax, аналогично предыдущей задаче получается, что maxmin = 0, minmax = 0, появилась седловая точка, т.к. верхняя и нижняя цены равны. Стратегии обоих игроков равны 4.
3. Рассмотрим задачу эвакуации людей в пожарном случае.
Пожарная ситуация 1:Время возникновения пожара - 10 часов, лето.
Плотность людского потока D = 0,2 ч /м 2 , скорость движения потока v = 60
м /мин. Необходимое время эвакуации Tэв = 0,5 мин.
Пожарная ситуация 2:Время возникновения пожара 20 ч, лето. Плотность людского потока D = 0,83 ч /мин. скорость движения потока
v = 17 м /мин. Необходимое время эвакуации Tэв = 1,6 мин.
Возможны различные варианты эвакуации Li которые определяются
конструкционными и планировочными особенностями здания, наличием
незадымляемых лестничных клеток, этажностью здания и другими факторами.
В примере мы рассматриваем вариант эвакуации как маршрут, по которому должны пройти люди при эвакуации из здания. Пожарной ситуации 1 будет соответствовать такой вариант эвакуации L1, при котором эвакуация происходит по коридору в две лестничные клетки. Но возможен и худший вариант эвакуации – L2, при котором эвакуация
происходит в одну лестничную клетку и путь эвакуации максимальный.
Для ситуации 2, очевидно, подходят варианты эвакуации L1 и L2, хотя
L1 предпочтительней. Описание возможных пожарных ситуаций на объекте защиты и вариантов эвакуации оформляется в виде платежной матрицы, при этом:
N - возможные ситуации на пожаре:
L - варианты эвакуации;
а 11 – а nm результат эвакуации: "a" меняется от 0 (абсолютный проигрыш) - до 1 (максимальный выигрыш ).
Например, при пожарных ситуациях:
N1- задымление общего коридора и охват его пламенем происходят
через 5 мин. после возникновения пожара;
N2 - задымление и охват пламенем коридора происходят через 7 мин;
N3 - задымление и охват коридора пламенем происходят через 10 мин.
Возможны следующие варианты эвакуации:
L1 - обеспечивающий эвакуацию за 6 мин;
L2 - обеспечивающий эвакуацию за 8 мин;
L3 - обеспечивающий эвакуацию за 12 мин .
Далее определяются результаты эвакуации из соотношения, а ij = Ni / Lj