Методика введения понятия производной функции (стр. 2 из 3)
б)
, приращённое значение аргумента : 
+ 
.Составим разностные отношение:
, которые при 
стремится к числу 
.Для конкретизации понятия производной может быть использован графический метод, суть которого в следующем:
1) На примере функции покажите, что разностное отношение
есть функция с аргументом 
. Охарактеризуйте эту функцию. Обратимся к рассмотренному примеру: 
, 
, 
Наша функция возрастающая, т.е. если
2) Постройте график функции
и с его помощью покажите число, к которому стремится отношение при 
. Пусть
3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.
4) Рассмотреть приложение производной.
4. Изучение приложения производной в курсе школьной математики
Понятие непрерывной функции
Остановимся на понятии непрерывной функции: функция
стремится к числу 
при 
( ), если разность 
сколь угодно мала, т.е. 
становится меньше любого фиксированного 
при уменьшении 
. Нахождение числа по функции 
называется предельным переходом.Этим названием уже пользовались, давая определения производной. Предельный переход – новая операция для нахождения неизвестных величин. Так, например, функция
называется непрерывной в точке x0, если 
при или = 
.В учебнике "Алгебры и начала анализа 10-11 класс" формулируются правила новой операции:
1) Если функция
непрерывна в точке 
, то 
при 2) Если функция
имеет производную в точке , то: 
при 3) Пусть
, 
при. Тогда при :а)
;б)
;в)
, если 
.Метод интервалов
Приложения производной начинаются с рассмотрения приложения непрерывной функции: "Если на интервале
функция непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак! " Эта теорема применяется в решении неравенств методом интервалов. В более "сильных" классах можно заменить нахождение знака данной функции на каждом из интервалов проведением кривой знаков ", которая берет свое начало в правом верхнем углу, если знак коэффициента при старшей степени 
положителен, и в правом нижнем углу в противном случае (вспомнить аналогию с расположением ветвей параболы для функции 
).Например: решить неравенство
Ответ:
.Исследование свойств функции с помощью производной
Рассматриваются примеры разрывной функции:
, непрерывной, но не дифференцируемой в точке, функции 
.При исследовании свойств функции с помощью производной опираются на такие известные теоремы математического анализа, как теоремы Лагранжа, Ферма и Вейерштрасса. Формула Лагранжа как иллюстрация геометрического смысла производной приводится в пункте 19 "Касательная к графику функции" и, немного позже, с ее применением формулируется достаточные признаки возрастания и убывания функции:
; 
, т.к. 
,где
- формула Лагранжа.Методическая схема изучения достаточных признаков возрастания и убывания функции:
· поставить учебную проблему;
· подвести учащихся к формулировке признака с помощью геометрической иллюстрации;
· сформулировать признак, привести краткую запись его условия и заключения.
· привести доказательство признака с помощью формулы Лагранжа;
· закрепить доказательство путем выделения в нем составляющих шагов.
Например, подведение учащихся к формулировке признака возрастания функции конкретно- индуктивным методом можно осуществить следующим образом, обращаясь к учащимся, учитель говорит: "Можно ли охарактеризовать поведение функции с помощью производной? ". Рассмотрим рисунок
Как ведет себя функция
?