Контрольно-измерительные материалы КИМы и интерпретация результатов тестирования (стр. 4 из 6)
В отличие от моды на величину среднего влияют значения всех результатов. Таким образом, среднее арифметическое характеризует всю совокупность значений. Оно обобщает индивидуальные особенности составляющих распределения, в нем уравниваются отдельные значения рассматриваемой величины.
Получаемые результаты в процессе разработки теста требуют специальной интерпретации и размышления.
Интерпретация мер центральной тенденции. Меры центральной тенденции в определенной степени помогают при оценке качества теста в том случае, когда она проводится по результатам апробации теста на репрезентативной выборке учеников. Обычно считают, что хороший нормативно-ориентированный тест обеспечивает нормальное распределение индивидуальных баллов репрезентативной выборки учеников, когда среднее значение баллов находится в центре распределения, а остальные значения концентрируются вокруг среднего по нормальному закону, т.е. примерно 70% значений в центре, а остальные сходят «на нет» к краям распределения, как на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Нормальная кривая распределения индивидуальных баллов
Если тест обеспечивает близкое к нормальному распределение баллов, то это означает, что на его основе можно определить устойчивое среднее значение баллов, которое принимается в качестве одной из репрезентативных норм выполнения теста. Обратный вывод, вообще говоря, неверен: устойчивость тестовых норм вовсе не предполагает обязательного нормального распределения эмпирических результатов выполнения теста.
Может сложиться представление о том, что существует жесткая связь между нормальным распределением частот и практически любыми эмпирическими данными по тесту.
На самом деле это не так, поскольку нормальная кривая – это изобретение математиков, которое в сглаженном, идеальном виде описывает реальный полигон частот. На практике никогда не была и не будет получена совокупность данных, распределенных точно по нормальному закону. Просто иногда полезно, допуская определенную ошибку, утверждать, что эмпирические данные распределены по нормальному закону, и описывать полигон частот сглаженной кривой.
Нормальное распределение унимодально и симметрично, т.е. половина результатов, расположенная ниже моды, в точности совпадает с другой половиной, расположенной выше, а мода и среднее значение равны. Отсутствие полной симметрии в полигоне частот на практике приводит к смещению моды относительно среднего значения.
В малых выборках мода, как и среднее значение, теряет свою стабильность, хотя причиной нестабильности может служить и неправильный подбор по трудности заданий в тесте. Например, если по репрезентативной выборке получилась гистограмма с бимодальным распределением (рис. 2.6), то среднее значение распределения, находящееся в центре, никак не может служить нормой выполнения теста. Скорее всего, тест был сконструирован неудачно, что послужило причиной отсутствия нормального распределения эмпирических результатов выполнения теста.
Рис. 6. Гистограмма бимодального распределения
Смещение среднего значения влево или вправо, как на рис. 2.7 и 2.8, говорит о слишком трудной либо соответственно слишком легкой подборке заданий теста.
Таким образом, правильно сконструированный нормативно-ориентированный тест на репрезентативной выборке учеников должен обеспечивать близкое к симметричному распределению индивидуальных баллов, когда мода и среднее значение примерно равны, а остальные результаты расположены вокруг среднего по нормальному закону.
Рис. 7. Гистограмма распределения баллов по трудному тесту
Рис. 8. Гистограмма распределения баллов по легкому тесту
Седьмой шаг. На седьмом шаге определяются описательные характеристики, служащие мерами изменчивости в группе данных по тесту. Введение характеристик связано с необходимостью выявления дополнительных оснований для обоснованного сравнения различных распределений по тестам. При сравнении нескольких распределений с одинаковыми средними с помощью дополнительных характеристик можно выявить существенные различия в структуре, указывающие на значительные отличия в качестве тестов.
Наиболее важная характеристика указывает на особенности разброса эмпирических данных вокруг среднего значения баллов по тесту. Отдельные значения индивидуальных баллов могут быть тесно сгруппированы вокруг своего среднего балла либо, наоборот, сильно удалены от него. Поэтому необходимы оценки характеристик распределения, отражающие вариацию, или, как говорят иначе, изменчивость баллов по тесту.
Для характеристик степени рассеяния отдельных значений вокруг среднего используются различные меры: размах, дисперсия, стандартное отклонение.
Размах измеряет на шкале расстояние, в пределах которого изменяются все значения показателя в распределении. Например, распределения индивидуальных баллов табл. 6 размах равен ??.
Вариационный размах легко вычисляется, но используется крайне редко при характеристике распределения баллов по тесту. И для этого есть веские основания. Во-первых, размах является весьма приближенным показателем, так как не зависит от степени изменчивости промежуточных значений, расположенных между крайними значениями в распределении баллов по тесту. Во-вторых, крайние значения индивидуальных баллов, как правило, ненадежны, поскольку содержат в себе значительную ошибку измерения. В этой связи более удачной мерой считается дисперсия.
Дисперсия. Подсчет дисперсии основан на вычислении отклонений каждого значения показателя от среднего арифметического в распределении. Для индивидуальных баллов значения отклонений
несут информацию о вариации совокупности значений баллов N учеников, т. е. отражают меру неоднородности результатов по тесту. Совокупность с большей неоднородностью будет иметь большие по модулю отклонения, наоборот, для однородных распределений отклонения должны быть близки к нулю. Знак отклонения указывает место результата ученика по отношению к среднему арифметическому по тесту. Для ученика с индивидуальным баллом выше среднего значение разности 
будет положительно, а для тех, у кого результат ниже 
, отклонение 
меньше нуля.Например, в распределении баллов со средним значением
из табл. 6 отклонения будут:• для 3-го ученика
• для 2-го
;• для 5-, 6-и 8-го
;• для 7-го
;• для 1- и 10-го
;• для 4- и 9-го
.Если просуммировать все отклонения, взятые со своим знаком, то для симметричных распределений сумма будет равна нулю. В рассматриваемом примере сумма отклонений
что, конечно, не позволяет оценить меру неоднородности распределения, поскольку отрицательные и положительные слагаемые уничтожают друг друга. Для преодоления этого эффекта каждое отклонение возводят в квадрат и находят сумму квадратов отклонений: Тогда сумма вида
будет большой, если результаты тестирования отличаются существенной неоднородностью, и малой – в случае близких результатов испытуемых по тесту.
Для рассматриваемого примера
Величина суммы зависит также от размера выборки учеников, выполнявших тест. Зависимость здесь вполне очевидна: чем больше учеников, тем больше положительных слагаемых в сумме, характеризующей вариацию баллов по тесту. Поэтому при сравнении мер изменчивости распределений, отличающихся по объему, возникает препятствие, которое снимается путем деления каждой суммы на N-1, где N – число учеников, выполнявших тест. Определяемая таким образом мера изменчивости называется дисперсией. Она обычно обозначается символом
и вычисляется по формуле 
(2)Для рассматриваемого примера
В примере
вычислялась просто в силу того, что среднее арифметическое было целым числом. На практике, как правило, приходится иметь дело с дробными значениями 
, что делает использование формулы (2) крайне утомительным.