Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. В этом плане можно выделить три важные проблемы.
1. Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность – это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?
2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.
3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?
По вопросу о специфике математических способностей, хотя и нельзя констатировать наличие единого мнения, но большинство ученых, среди которых такие крупные авторитеты в области психологии, как А. Бинэ, Г. Ревеш, и в области математики, как Ж. Адамар и А. Пуанкаре, явно склоняются в пользу признания специфичности математического таланта. А. Бинэ прямо и недвусмысленно указывал на то, что «математический ум предполагает совершенно специальную способность». А. Пуанкаре и впоследствии Ж. Адамар говорили о специфике мышления математика, о своеобразной, свойственной математикам «математической интуиции», о подсознательной творческой работе. Хотя Адамар и отмечал, что математическая одаренность и математическое творчество как-то связаны собщим интеллектом, творчеством вообще (упоминая в этом отношении о фактах связи математической одаренности с одаренностью в других областях), но он же указывал на частые случаи «ограниченности» математического ума.Ревеш высказывает убеждение в том, что математический талант есть специфическая форма таланта, которую необходимо отличать от других форм научного таланта. Математический талант может проявляться вместе с другими талантами, но он органически не связан с ними; таланты к другим наукам возможны без математической способности и даже при абсолютном отсутствии последней.
Вопрос о структурности математических учебных способностей принимал у психологов прежде всего форму вопроса о том, нужно ли говорить о математических способностях как об едином свойстве или правильнее говорить об арифметических, алгебраических и геометрических способностях. Еще в 1909—1910 гг. К. Стоун и независимо от него С. Куртис, изучая достижения в арифметике и способности к этому предмету, пришли к выводу о том, что едва ли можно говорить о математических способностях как об едином целом, даже в отношении арифметики. В 1910 г. была опубликована большая статья В. Брауна «Объективное исследование математических способностей», в которой говорилось, что успешность в алгебре и геометрии определяется качественно различными свойствами и что нет свойства, которое лежало бы в основе математических способностей вообще. Исследований по выявлению компонент математических способностей проводилось большое количество, но они не дают более или менее ясного и четкого представления о структуре математических способностей. Для примера приведу результаты исследования структуры математического мышления, проводимого В. Хаекером и Т. Цигеном. Авторы прежде всего выделили четыре основных сложных компонента, составляющие «ядро» математического мышления: пространственный, логический, числовой и символический. Дальше они попытались каждый из этих компонентов разложить на более простые составляющие. Получилась такая схема:
A.Пространственный компонент.
1.Понимание пространственных фигур, образов и их комплексов (синтезов, гештальтов).
2. Память на пространственные образы (пространственные
представления).
3. Пространственные абстракции (умение видеть у пространственных объектов общие признаки).
4. Пространственное комбинирование (понимание и самостоятельное нахождение связей и отношений пространственных объектов).
B.Логический компонент.
1.Образование понятий (типа «синус», «логарифм», «тензор»
и т. д.) и понятийных абстракций.
2. Понимание, запоминание и самостоятельное нахождение
общих понятийных связей.
3. Понимание, запоминание и самостоятельное выведение
заключений и доказательств по правилам формальной
логики.
C.Числовой компонент.
1.Образование числовых представлений.
2. Память на числа, числовые решения.
D.Символический компонент.
1.Понимание символов.
2. Запоминание символов.
3. Операции с символами.
Обобщая результаты большинства исследований, мы получим самые общие характеристики математического мышления, такие, как способность к абстракции, способность к логическому рассуждению, хорошая память, способность к пространственным представлениям и т. д.
Перейдём к вопросу о типологии математических способностей. Наиболее распространенной в зарубежной психологии является типология математических талантов, основанная на противопоставлении дискурсивного, развернутого во всех своих звеньях мыслительного процесса, интуитивному мыслительному процессу, связанному с непосредственным «схватыванием» необходимых отношений. Еще Р. Декарт в своих «Правилах для руководства ума» противопоставлял цепи последовательных логических умозаключений интуицию как непосредственное усмотрение связей и отношений между различными явлениями. Ж. Адамар говорит о логическом и интуитивном математическом мышлении (и соответственно о двух типах математиков). «Логика» отличает значительно меньший «удельный вес» бессознательного в мышлении, более узко направленная мысль, последовательность и ясная расчлененность мыслительного процесса. Мышление «интуитивиста» характеризуется значительно большим удельным весом бессознательного, более «рассеянной» мыслью, быстротой и сокращённостью («свернутостью») мыслительного процесса.
Интересен взгляд западных учёных на сущность математического творчества. В работах А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Г. Ревеша встречаются следующие идеи. Ход мыслительного процесса ученого может осознаваться не во всех своих звеньях. Ученому свойственно не только «развернутое» дискурсивное мышление, но и так называемое интуитивное мышление, протекающее в сокращенном, «свернутом» виде. Оно усматривает или открывает существенные связи раньше, чем дискурсивное мышление успеет доказать их соответствие действительности. Это часто и воспринимается как бессознательная творческая работа. Можно установить определенные стадии творческого процесса: 1) период бесплодного сознательного обдумывания; 2) период отвлечения от работы, период отдыха или переключения на другую деятельность. В это время активно работает подсознательное мышление, происходит «инкубация» идеи; 3) внезапное «озарение», открытие истины в тот момент, когда человек меньше всего думает о предмете; 4) снова сознательная работа над анализом и отшлифовкой идеи.
1.2.2. Исследование проблемы математических способностей в отечественной психологии.
Свои взгляды на природу и сущность математических способностей или математического мышления высказывали многие математики и методисты.
Одним из первых отечественных авторов, затрагивающих проблему математических способностей, был русский математик Д.Д. Мордухай-Болтовский. Основные мысли о математическом творчестве он изложил в оригинальной статье «Психология математического мышления». Автор предлагает следующий перечень компонентов, в совокупности образующих математические способности: «Хорошая математическая способность предполагает сильную память и причем главным образом на предмет того типа, с которым имеет дело математика»; «остроумие», т. е. способность «обнимать умом зараз два совершенно разнородных предмета»; «быстрота мысли», которую автор связал с «бессознательным мышлением». Д.Д. Мордухай-Болтовский отметил различие двух типов воображения: абстрактного у «алгебраистов» и более конкретного у «геометров».
А.Я. Хинчин [26] указывал следующие черты математического мышления: 1) доминирование логической схемы рассуждений, 2) лаконизм (стремление находить кратчайший путь к цели), 3) четкое расчленение хода рассуждений, 4)точность (каждый математический символ имеет строго
определенное значение).
А.Н. Колмогоров в работе «О профессии математика» указывал, что способности к механическому запоминанию большого числа фактов, формул, складывание и перемножение в уме длинных рядов многозначных чисел не имеют отношения к математическим способностям. Он отмечал, что различные стороны математических способностей встречаются в разных комбинациях, что эти способности проявляются обычно рано и требуют непрерывного упражнения. К математическим способностям А.Н. Колмогоров относил: 1) способность умелого преобразования буквенных выражений, нахождения удачных путей для решений уравнений, не подходящих под стандартные правила, или, как принято называть у математиков, «вычислительные или алгоритмические способности»; 2) геометрическое воображение или «геометрическую интуицию»; 3) искусство последовательного правильно расчлененного логического рассуждения.