Обобщение способов решения задач рассматривают А.И. Островский [27], Е.С. Канин [14], Г.В. Дорофеев [11] и другие.
Обобщение как прием систематизации математических знаний и умений рассматривает в своих работах В.А. Далингер [21].
Как эффективный эвристический прием открытия новых фактов рассматривает обобщение Г.И. Саранцев [38] в своей книге «Общая методика преподавания математики». Он считает, что обобщение, как форма перехода от частного к общему, имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих определенному классу объектов.
Не смотря на различные подходы к определению понятия «обобщение», все ученые признают важную роль обобщений в процессе познания:
– образование любого общего понятия действительности необходимым образом включает процесс обобщения;
– обобщения дают возможность раскрывать внутренние связи между различными уже открытыми законами; благодаря обобщениям создаются эффективные единые правила оперирования с изучаемыми предметами;
– обобщенные теории дают возможность объяснять факты, которые не могли быть объяснены в пределах прежней теории.
– обобщение развивает мотивацию к обучению, облегчает изучение и применение знаний учащимися, улучшает качество знаний, что в итоге приводит к повышению образовательного, воспитательного и развивающего потенциала обучения.
Необходимость осуществления обобщений в обучении математике отмечают В.Г. Болтянский [6], Ю.М. Колягин [23], Д. Пойа [30], Г.И. Саранцев [38] и другие. Они считают, что знания, за которыми не стоит обобщающей работы мысли, – это формальные знания.
П.М. Эрдниев видит значение обобщения в том, что его применение в процессе обучения помогает самостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний, так как «обобщение связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием; с развитием интуиции и перебором различных образов при отыскании общего знания. Обобщение есть одно из самых важных средств самообучения, автодидактики». Он также отмечает, что умение обобщать является непременной составной частью творческого мышления, так как «этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному» [43, c. 61].
С помощью обобщения происходит развитие творческих способностей учащихся; развитие познавательного интереса при решении задач [39], формирование и развитие умения сравнивать, что имеет большое значение в развитии мышления учащихся [16]; формирование умения видеть за абстрактными обозначениями реальные взаимосвязи в задачах [19].
Задачи являются и целью, и средством обучения математике. Поэтому необходимо использовать потенциал обобщения в процессе обучения решению задач, так как обобщения могут способствовать выводу общего метода решения некоторого класса задач из решений конкретных задач, выступать как метод решения задач, например, обобщенная задача может оказаться легче и понятнее исходной. При составлении новых задач обобщение является средством видоизменения задачи.
Таким образом, в работе под обобщением будем понимать переход от единичного к общему, от менее общего к более общему за счёт выделения общих существенных свойств или отношений.Обобщениеиграет очень важную роль в процессе обучения математике. С помощью обобщения происходит расширение и углубление знаний, а так же их систематизация. Обобщение помогает в формировании и развитии мотивации к изучению математики. Оно способствует усилению внутрипредметных связей, развивает творческое мышление и познавательный интерес в процессе обучения, является существенной стороной мыслительной деятельности. Необходимо использовать потенциал обобщения в процессе обучения решению математических задач. При решении задач обобщение может осуществляется как метод решения, или, наоборот, помочь в выводе метода решения задачи, а так же удобно при составлении новых задач.
1.2 Виды и приемы обобщений
В методике преподавания математики нет общепринятой классификации видов обобщения. Используя обобщения, методисты в основном берут за основу классификации философов и психологов.
Наиболее распространенной является классификация способов обобщений, предложенная Д.П. Горским [9].
1. Обобщение посредством перехода от конкретных высказываний к предложениям, содержащим переменные. (Введение понятия многоугольника, многогранника, уравнения и др. математические понятия после рассмотрения отдельных примеров.)
2. Обобщение посредством введения новых понятий, правил, операций, законов. (Введение понятий конгруэнтности, равновеликости, равнонаправленности, подобия фигур, понятий симметрии и др.)
3. Обобщение посредством анализа смысла некоторых выражений, возникающих в ходе развития науки. (В арифметике – введенное Эйлером определение умножения целого числа на дробь через обращение к закону коммутативности, в геометрии – введение понятия угла между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, понятий двугранного, многогранного угла и др.)
4. Обобщение как перенесение закономерностей, действительных для одной области, на новые предметные области. (Величины и числа, алгебраизация геометрии и др.)
5. Обобщение посредством индукции, т.е. переход от суждений, теорий, имеющих частное значение, к общим закономерностям. (В арифметике: всякое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел; в геометрии: все рассматриваемые в пространстве фигуры, обладающие свойством симметрии, имеют либо бесконечное, либо конечное нечетное число осей симметрии и др.)
6. Обобщение с помощью объединения двух или нескольких закономерностей в одну более общую закономерность. (Понятие о геометрических преобразованиях, композиции преобразований и др.).
Деление обобщений на эмпирические и теоретические, осуществленное С.Л. Рубинштейном и В.В. Давыдовым, так же используется в методике преподавания математики.
В основе эмпирического обобщения лежит операция сравнения. Проводя сравнение одной группы предметов, ученик выделяет их внешние, одинаковые общие свойства, обозначает их каким-либо словом, которое в результате может стать понятием об этой группе предметов.
Теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном предмете с целью выделения существенных внутренних связей, которые определяют этот предмет как целостную систему.
С.Л. Рубинштейн [37] выделил две характерные черты теоретического обобщения:
1) оно выполняется при таком анализе какого-либо одного конкретного факта (события, задачи), который обнаруживает внутреннюю связь его частных проявлений;
2) исходя из знания этой связи, ученик затем сразу может обобщить все другие факты (события, задачи) данного круга.
Если для эмпирического обобщения характерно длительное сравнение многих исходных фактов для их постепенного обобщения, то для теоретического обобщения этого не требуется. Теоретическое обобщение строится на рефлексии, которая состоит в рассмотрении учащимися оснований собственных действий и их соответствия условиям задачи, и на анализе содержания задачи с целью выделения принципа или всеобщего способа ее решения.
В качестве приемов обобщения при обучении решению задач ученые выделяют отбрасывание ограничений, введение параметра, видоизменение задачи, построение «теории в малом масштабе» и т.д.
Г.И. Саранцев считает, что «использование обобщения при решении задач основано на расширении области изменения параметра, или на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое направление преимущественно применяется в алгебре, второе – в геометрии» [38, с. 110]
В качестве приема отбрасывания ограничений, можно рассматривать обобщения данных или искомых задачи в различных проявлениях:
1) отбрасывание ограничений путем замены числовых данных или искомых параметром;
2) отбрасывание ограничений путем обобщения понятий, входящих в содержание задачи;
3) отбрасывание ограничений на требования задачи, постановка более общего вопроса;
4) отбрасывание ограничений путем введения большего числа элементов задачи;
5) отбрасывание ограничений на применимость (решение конкретной задачи применяется для целого класса задач).
Этот прием широко используется при обучении решению математических задач.
При обобщении сами математические задачи можно объединить в некоторые множества. Например, задачи, приводимые к формированию математического понятия; задачи, приводящие к теореме; задачи, приводящие к методу решения класса задач и другие. От данного множества задач осуществляется переход к более широкому множеству, содержащее данное.
Таким образом, нет общепринятой классификации видов обобщения. В методике преподавания математики в основном используются классификации педагогов и психологов. Основными приемами обобщения при решении математических задач являются отбрасывание ограничений и переход от данного множества задач к более широкому, содержащее данное.
1.3 Сравнение и анализ – необходимые условия обобщения
Обязательным условием всякого обобщения является сравнение. Как уже было отмечено, сравнение является основой эмпирических обобщений. П.М. Эрдниев [43] при обучении математике на основе теории укрупнения дидактических единиц придает большое значение основным формам сравнения: сопоставлению и противопоставлению.
Анализ же является основой теоретических обобщений.
По мнению В.Г. Болтянского «анализ представляет собой наиболее трудную, творческую стадию процесса решения задачи» [6, с. 35]. Именно в умении анализировать условие задачи, поиск решения, само решение, полученный результат проявляется обобщенность подхода к решению задач.
«Обобщение через анализ является мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи свойств путем формирования теоретического мышления» считает Ю.М. Колягин [23, с. 53]. Это справедливо, так как, по мнению психологов, неотъемлемым признаком теоретического мышления является способность к анализу задачи, который вскрывает внутреннюю связь, лежащую в основе многих частных проявлений этой задачи.