Методика преподавания темы Тригонометрические функции в курсе алгебры и начал анализа (стр. 8 из 9)
16. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.
17. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. - Москва: Наука, 1986.
18. Раббот, Ж. Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж. // Квант. 1972- №5- с. 36-38.
19. Синакевич, С.В. Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. - Москва: Учпедгиз, 1959.
20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды [Текст] / Смирнова И.М. // Математика в школе. 1993-№3- с.56-58.
21. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
22. Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993.
23. Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.
Приложение
Факультатив «Тригонометрия помогает алгебре».
Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.
Цели:
1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.
2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.
Место изучения.
Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.
Ход факультатива:
Учащимся предлагается попробовать решить уравнение
самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α 
, или х=cosα, α 
, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.
«Поскольку функция 4х3-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)=
: 1- х2 ≥0, значит х 
. Введем замену х=cosα. Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок 
.Подставим х=cosα в уравнение, получим
Так как α
, то sinα ≥0 и можно опустить модуль: 
Условию α
удовлетворяют три значения α1= 
, α2= 
,α3= 
.x1=cos α1=cos
= 
,x2=cos α2=cos
=-sin = 
= 
x3= cos α3=cos
=-cos 
= 
.Ответ: x1=
, x2= 
, x3= .Пример 2. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение
При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α
ставит в соответствие каждому значению х на [0;1] ровно одно значение α . Значит, число решений исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на 
, причем так как х¹0 и х¹1, то можно взять α 
». Уравнение примет вид 
Условию α
удовлетворяют четыре значения α1= 
, α2= 
, α3= 
, α4= 
.Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.
Пример 3. Решить систему уравнений
Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х2+y2=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y=cosα, α
, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.Пусть х= sinα, y= cosα, α
Второе уравнение системы примет вид 
Условию α
удовлетворяют четыре значения α1= , α2= , α3= 
, α4= 
.х1=
y1= 
х2=
y2= 
х3=
y3= 
х4=
y4= 
Ответ: х=
, y= ; x= , y= 
; x= ,y=
; x= , y= .