Методика преподавания темы Тригонометрические функции в курсе алгебры и начал анализа (стр. 6 из 9)
Это целесообразно проиллюстрировать, изобразив отрезок [-p/2;p/2]. Заметим, что (х1+х2)/2 не что иное, как среднее арифметическое чисел х1 и х2, а, следовательно, принадлежит отрезку [х1;х2], который, в свою очередь, целиком лежит в отрезке [-p/2;p/2], то есть первое неравенство имеет место. Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства. Заметим, что модуль разности |х2-х1| - это расстояние между точками х1 и х2, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-p/2;p/2], то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то есть p. С другой стороны модуль – функция неотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как х1 и х2 различны. Имеем 0 <|х2-х1|£p, но так как х1 < х2, то |х2-х1| = (х2-х1). Разделив все части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.
Доказательство возрастания функции y=tgx на интервале (-p/2;p/2), целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулу разности тангенсов (см [11]). В случае же, когда преподавание ведется по учебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций, то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще не известна, доказательство лучше проводить, разбив интервал (-p/2;p/2) на два полуинтервала [0;p/2) и (-p/2;0]. Обоснование возрастания функции y=tgx на полуинтервале [0;p/2) не сложно и приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности на втором интервале авторы учебников [16] и [2] почему-то считают сложным и опускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в котором дано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:
Пусть -p/2 < х1 < х2 £ 0, тогда 0 £ -х2 < -х1 <p/2. Теперь числа -х1 и -х2 лежат в первой четверти, в которой тангенс возрастает, следовательно tg(-х2 )<tg(-х1). Так как y=tgx нечетная функция, то
tg(-х2 ) <tg(-х1) Û -tg (х2 ) < - tg(х1),
а следовательно tg(х1) <tg(х2). Что и означает, что функция y=tgx возрастает на промежутке (-p/2;0], а значит и на интервале (-p/2;p/2). Доказательство монотонности функции y=сtgx целесообразно предложить в качестве задания для самостоятельного выполнения.
5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.
Нахождение нулей функций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.
6) Периодичность.
Изучению этого свойства необходимо уделить особое внимание, так как учащиеся впервые сталкиваются с периодическими функциями. Для отработки понятия периодичности функции целесообразно использовать следующие упражнения.
1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции на отрезках [-6;-2], [2;3].
2. Постройте график периодической функции y=f(x), с периодом равным 2, если известно, что f(x)=х2/2 на отрезке [-1;1].
3. Является ли число 16p периодом функции y=sinx? А ее основным периодом?
4. Найти основные периоды функций y=sin(6x), y=соs(x/2), y=sin(кx).
5. Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая.
6. Пусть функция f периодическая, Т1 и Т2 – ее периоды. Докажите, что любое число вида nТ1 +mТ2, где n,mÎN, также является периодом функции f.
7. Докажите, что функции f(x) = sinx2 и cos (x)*cosÖx не являются периодическими.
8. Докажите, что возрастающая функция не может быть периодической. И т.п.
Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что периодическая функция имеет бесконечное множество периодов, среди которых стараются выделить, если это возможно, наименьший положительный период, который называют основным.
После этого все свойства тригонометрических функций желательно проиллюстрировать на графике и свести в одну таблицу.
| Свойства | у=sin(x) | у=cos(x) | у=tg(x) | y=ctg(x) |
| Область определения | ||||
| Область значений | ||||
| Нули функции | ||||
| … |
Для дальнейшей отработки навыков по исследованию тригонометрических функций и построению их графиков используют гармонические колебания, которые имеют вид y =Asin(wt+a) и y =Acos(wt+a). Основной целью введения гармонических колебаний является наглядная демонстрация того, как изменяются свойства функций в зависимости от значения коэффициентов A,w и a. При этом целесообразно использовать задания вида:
1.По графику функций определите задающую ее формулу:
Рис.6
2. Какими свойствами обладают данные функции на отрезке [-p/2; p/2], а на отрезке [0; p]?
| Возрастает | Имеет ровно один корень | Пробегает всё множество значений | Убывает | Не меняет знак |
| Y=cos(x) | ||||
| Y=cos(x/2) | ||||
| Y=3cos(2x) | ||||
| Y=cos(x+p/4) | ||||
| Y=2cos(p/2-x) |
Какими свойствами обладают данные функции на данных промежутках?
| [-p/2; p/2] | [0; p] | [-2p;0] | [-3 p/2;- p] | [-p; p] |
| Y=cos(x) | ||||
| Y=cos(2x) | ||||
| Y=2cos(x/2) | ||||
| Y=cos(x+p/2) | ||||
| Y=3cos(p/4-x) |
После того, как мы в достаточной мере хорошо научились оперировать свойствами тригонометрических функций, можно переходить к решению тригонометрических уравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Но не стоит центр тяжести при изучении тригонометрических функций смещать в сторону алгебры, то есть не нужно выдвигать на первое место умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований. Эти умения, безусловно, важны и развивают у учащихся комбинаторные, логические и алгоритмические навыки, однако главное в изучении тригонометрических функций уходит при этом в тень. Таким образом, не следует забывать, что основная задача учителя математики – все-таки развитие умственных способностей ребенка.
§4 Опытное преподавание.
Опытное преподавание осуществлялось мной во время прохождения педагогической практики на выпускном курсе. Опытно-экспериментальной базой являлся 11б класс школы №10 города Кирова. В это время мной было проведено несколько уроков из темы «Тригонометрические функции».
Так как преподавание алгебры и начал анализа в данном классе велось по учебнику [2], потому к моменту изучения тригонометрических функций учащиеся уже умели решать тригонометрические уравнения и неравенства, а также выполнять тригонометрические преобразования (см. §2). Несмотря на это, у учащихся до сих пор возникали проблемы при работе с тригонометрической окружностью. Многие забыли как найти точку на числовой окружности, которая соответствует некоторому числу (особенно не выраженному в долях числа p), или найти числа, которые соответствуют точке с заданными координатами. Это можно объяснить, на мой взгляд, несколькими причинами. Первая – недостаточная работа с числовой окружностью на начальном этапе изучения тригонометрии в курсе алгебры и начал анализа. Вторая – достаточно большой временной разрыв между введением тригонометрической окружности и изучением тригонометрических функций[1]. Кроме того, если изучение тригонометрических уравнений происходит после изучения тригонометрических преобразований, то часто решение первых просто сводится к «возне» со вторыми, а работа с тригонометрической окружностью как с самостоятельным объектом отходит на второй план. Поэтому было принято решение - провести урок повторения по данной теме.
Урок №1. «Числовая окружность на координатной плоскости»
Образовательные цели урока:
- Обобщить имеющиеся у учащихся знания о числовой окружности как о самостоятельном объекте изучения.
- Вспомнить основные принципы работы в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольной декартовой.
- Повторить свойства синуса и косинуса, формулы приведения.
Ход основной части урока.
Данный урок был построен в форме беседы учителя и учащихся, в процессе которой были озвучены ответы на следующие вопросы:
Что такое окружность? А ее дуга?
Как найти длину дуги окружности?
Что такое единичная окружность? Почему удобнее использовать именно ее?
Что такое числовая окружность?
Как найти на числовой окружности точки, соответствующие данным числам?
Чем отличается построение точки на числовой прямой и на числовой окружности?
Как составить аналитическую запись дуги числовой окружности?
Как располагается числовая окружность на координатной плоскости?
Как найти декартовы координаты точки числовой окружности?
Как определить синус и косинус (угла и числа) с помощью координат?
Какие свойства синуса и косинуса хорошо иллюстрируются на числовой окружности?
Как проиллюстрировать основное тригонометрическое тождество с помощью числовой окружности? А формулы приведения?
В качестве иллюстрации ответов на вышеизложенные вопросы были рассмотрены решения следующих упражнений.
1) На единичной окружности отмечены точки А(1;0), В(0;1), С(-1;0) и Д(0;-1). Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья – на три равные части точками Р и К. Чему равны длины дуг АМ, ВК, ДС, ВР, СВ, ВС?
2) Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу а, если а = π, -π/2, π/3, -5π, 25π/4, 1, –5, 13.
3) Найдите декартовы координаты следующих точек числовой окружности: М(π/4), С(-3π/2), А(23π/6), В(-31π/4).