Проанализируем с точки зрения реализации вышеперечисленных целей те учебники, которые наиболее распространенны в общеобразовательных школах, а именно учебники [16], [2], [3], [11].
Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников как методических пособий в целом, а не по данной теме. Вообще, данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеет свои особенности. Учебник [16], например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличием большого числа примеров с подробными решениями. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. Учебник [11] имеет прикладную направленность, содержание отличается большей научностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей мере научен, чем доступен. Теоретический материал изложен достаточно кратко и лаконично. Учебник [3] также имеет прикладную направленность, но в отличие от [11] ориентирован на физические приложения математических знаний и умений. В конце учебника представлены несколько лабораторных работ, например, «Построение математической модели механического движения». В конце учебника весь изученный материал представлен в виде схем и таблиц, что удобно не только ученику при подготовке к какому-либо контрольному мероприятию, но и учителю при подготовке к уроку или к системе уроков. Также среди достоинств этого учебника стоит отметить и тот факт, что каждая глава открывается вводной беседой, подготавливающей появление новых основных понятий, и заключительной беседой, которая включает в себя сведения, полезные для учащихся, интересующихся математикой.
Ну, а учебник [2] по сравнению с другими изобилует большим количеством цитат и шуточных математических рисунков. Это, несомненно, развивает математический кругозор учащихся, но, что касается содержательной стороны этого учебника, то, по моему мнению, он больше подойдет для обучения математике в профильных (не математических) классах.
Перейдем канализу изложения конкретной темы «Тригонометрические функции» в данных учебниках. Напомним, что в школьном курсе математики в разные годы использовались разные варианты введения тригонометрических функций: при помощи тригонометрического круга, при помощи проекции и некоторые другие.
В современных учебных пособиях предпочтение отдается определению с помощью единичной окружности. При этом только в [16] уделено достаточное внимание работе с числовой окружностью как с самостоятельным объектом изучения, и это является одним из достоинств этого учебника.
В учебнике [16] на работу с числовой окружностью отводится 5 часов, что составляет почти 20% от 28 запланированных часов на изучение всей темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и «числовая окружность на координатной плоскости». То есть учащиеся обучаются работать одновременно в двух системах координат: в прямоугольной декартовой и криволинейной. Это поможет им в дальнейшем, когда понятия синуса и косинуса угла будут вводиться через координаты.
Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точки на числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой, с указанием основных сходств и различий в построении точки на окружности и на прямой. Неплохо в учебнике [16] мотивируется и само введение числовой окружности: «В реальной жизни двигаться приходится не только по прямой, но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью…». К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в неявном виде происходит подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют», «Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют».
Итак, в учебнике [16], в отличие от остальных учебников, проводится достаточно хорошая пропедевтическая работа для введения тригонометрических функций.
В учебнике [3] также присутствуют элементы работы с числовой окружностью, но не в таком количестве как в [16]. Здесь выделяется отдельный параграф «Вращательное движение и его свойства», в котором рассматриваются такие вопросы как построение точки по заданной мере угла и свойства вращательного движения.
В учебнике [11] в качестве подготовительной работы для введения тригонометрических функций выступает лишь повторение следующих вопросов:
- радианная мера угла (измерение углов в радианах, таблица значений тригонометрических функций (рассматривается исходя из геометрических соображений)),
- основные формулы тригонометрии (основное тригонометрическое тождество, формулы суммы и разности двух аргументов, формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного и половинного аргументов).
Вообще вопросы тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования – тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, в отличие от учебника [16], по которому сначала изучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования (как свойства функций).
Обучение же по учебникам [2] и [3] предполагает изучение тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в учебниках [11] и [16]), а в конце него. Авторы учебника [2] предлагают приступить к изучениию тригонометрии после изучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются тригонометрические преобразования, затем - тригонометрические уравнения и только после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд особенностей:
- изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;
- изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических функций).
В учебнике же [3] же вообще предлагается изучать тригонометрию уже после изучения производной. Это позволяет вычислять приближенные значения тригонометрических функций в точках, тем самым облегчая их исследование, помогая при построении графиков и решении тригонометрических уравнений.
Что касается введения самих тригонометрических функций, то и здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса и косинуса. В учебнике [2] дается следующее определение: «Сosх – это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х, а sinх – ее ордината». В [16]: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти два определения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением только того, что в учебнике [2] тригонометрические функции определяются как функции углового аргумента, а в [16] как функции числового аргумента, да еще присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что при работе с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, что знак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути).
В учебнике же [11] как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо них присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa - это синус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, у учащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссы и ординаты. В учебнике [16] этот факт тоже довольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике [3] пояснение отсутствует вовсе.
Тангенс же во всех учебниках, за исключением [11], определяется как отношение синуса к косинусу. В учебнике же [11] опять не дается четкого определения тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки пересечения прямой ОРa (Рa- точка на единичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».
Определения котангенса авторы дают аналогично определениям тангенса за исключением учебника [2], в котором котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается как функция.
Остановимся подробнее на вопросах исследования и построения графиков тригонометрических функций.
В учебнике [16] процесс построения графика и исследования функции происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность, возрастание на отрезке [0;p/2] и убывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значений функции на отрезке [0;p], строятся соответствующие точки и плавно соединяются.