Фигура готова (рис. 8)!
Рис. 8
Основной итог практической работы: с точки зрения оригами наиболее интересные линии в любом четырехугольнике – диагонали. С диагоналями чаще всего работаем при построении какой-нибудь фигуры. Результаты практических экспериментов заносим в таблицу (таблица 5). Приоритеты четырехугольников в оригами несколько отличаются от классического курса геометрии. Наиболее часто встречаются при построении квадрат, ромб и дельтоид.
Этот вид коллективной работы может быть прекрасно представлен на факультативном занятии по данной теме.
Таблица 5
Вид четырехугольника | Свойства четырехугольника, диагонали которого пересекаются | ||
Диагонали перпендикулярны | Диагонали равны | Число диагоналей, делящихся точкой пересечения пополам | |
Квадрат | + | + | 2 |
Ромб | + | - | 2 |
Прямоугольник | - | + | 2 |
Параллелограмм | - | - | 2 |
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].
В данном фрагменте представлен способ закрепления материала в форме коллективной деятельности.
Оборудование: сводная таблица.
Обобщение и систематизация изученного материала – 15 мин.
Коллективная работа в динамических парах. Ребята работают по двум блокам вопросов:
1) по теореме синусов;
2) по теореме косинусов.
Один учащийся из пары выполняет задания из первого блока, второй –из второго блока. Каждый заносит свой ответ в соответствующую колонку сводной таблицы (таблица 6), при необходимости можно использовать учебник. Затем ребята проверяют ответы друг друга, если находят ошибку записывают на их взгляд верное решение.
Итог работы класс подводит учитель вместе с учащимися по общей сводной таблице на доске.
Таблица 6
1 блокТеорема косинусов | 2 блокТеорема синусов |
1. Показать на чертеже треугольника угол между двумя сторонами. | 1. Показать на чертеже стороны, противолежащие углам. |
2. | 2. |
3. Вычитание векторов– геометрический способ. | 3. Смежные углы и их свойство. |
4. Скалярное произведение через длину векторов. | 4. Проведение высоты в различных треугольниках. |
5. Проекция наклонной (понятие, чертеж). | 5. Формулировка теоремы. |
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].
5.13 Фрагмент урока для 9-го класса по теме «Теорема об отрезках хорд, пересекающихся внутри круга»
Данный фрагмент представляет собой пример того, как можно путем постановки проблемного домашнего задания создать на уроке ситуацию, побуждающую учащихся к анализу своих действий и самостоятельному выявлению нового материала. Тема урока заранее не объявляется, а вытекает из проблемной ситуации. Так, тема урока становится проблемой, разрешение которой увлекает учащихся.
Оборудование: доска, мел.
Изучение нового материала – 15 мин.
Перед изучением темы учащимися предлагается дома решить следующую задачу:
Хорда AB, пересеклась с хордой CD в точке О, делится на отрезки АО = 45 мм и ОВ = 30 мм. Определить отрезок CD, если OD = 90 мм.
Урок начинается с проверки выполнения домашнего задания. Выясняется, что большинство учеников справились с работой, притом различными способами.
Одни построили отрезок АВ = 75 мм, отметили на нем точку О и отложили отрезок OD = 90 мм по трем точкам A, B, D построили окружность. Точка С была найдена как точка пересечения прямой OD с этой окружностью.
Другие построили круг произвольного радиуса, в нем хорду АВ = 75 мм и на последней точку О. На окружности отметили точку D так, что OD = = 90 мм. Точка С была найдена как точка пересечения прямой OD с окружностью.
Третьи построили чертеж и нашли отрезок СО из подобия треугольников AOC и BOD.
Каждый способ решения задачи ученики объясняли по своим же чертежам. Последний способ решения задачи отмечается учителем как самый рациональный.
Учеников, вероятно, очень удивит то, что, несмотря на произвольность угла пересечения хорд (в первом случае), радиуса круга (во втором случае) и различия способов решения задачи, они получили один и тот же результат: СО = 15 мм. Это убедит их в существовании определенной зависимости между отрезками пересекающихся в круге хорд. Еще раз обратившись к третьему случаю решения задачи, ученики сформулировали проблему: найти свойство отрезков пересекающихся хорд. Затем учитель называет тему урока и записывает ее. Построив чертеж, ученики составляют пропорцию из отношения сходственных сторон подобных треугольников. Используя основное свойство пропорции, они дают формулировку теоремы.
Таким образом, проблемная ситуация возникла в результате рассмотрения способов решения конкретной задачи.
При разработке фрагмента урока была использована следующая литература: [2].
5.14 Фрагмент урока для 11-го класса по теме «Иррациональные уравнения»
Тип данного урока - введение нового материала. Его основная цель - ввести понятие иррациональных уравнений и развивать умение применять способы решения иррациональных уравнений. Урок разработан таким образом, что учащиеся, путем исследования, самостоятельно выводят алгоритм решения иррациональных уравнений и ее свойства. На уроке используются такие приемы коллективной формы обучения, как решение проблемно-поисковых задач и самостоятельное проведение исследования.
Оборудование: плакаты; карточки.
Изложение нового материала – 13 мин.
На магнитной доске висят карточки с уравнениями.
Учитель: Прошу вашего внимания на доску. Здесь расположены карточки, на которых записаны уравнения. Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?
Карточки:
Кто из вас может выйти к доске убрать карточки с уравнениями, которые вы можете решить и назвать их тип?
Вывод: Остались карточки с уравнениями, которые вы еще не умеете решать.
Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?
(Предполагаемый ответ: неизвестное находится под знаком корня).
Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.
Итак, построим алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотрим некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.
Учитель объясняет алгоритм решения и оформления иррациональных уравнений.
1. Берет первую карточку с уравнением, прикрепляет к основной доске и решает его.
Решение.
Основной метод решения иррациональных уравнений – это метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но при этом мы можем получить неравносильное уравнение, поэтому в конце обязательно нужно сделать проверку.
1. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим
2. Проверка.
При
верное равенство.При
верное равенство.3. Следовательно, числа –3 и 3 являются решениями данного иррационального уравнения.
Ответ: -3; 3.
Учитель: А как бы вы решали вот такое уравнение:
.2. Выходит учащийся к доске и решает второе уравнение этим же способом.
Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим
Проверим, являются ли полученные значения переменной решениями данного уравнения?
Проверка.
При
верное равенство.При
верное равенство.Следовательно, число 2 является решением данного уравнения.
(Ответ: 2).
Итак, получили, что только одно значение переменной является решением данного уравнения. Это число 2. Число –1 в данном случае называется посторонним конем.
Вопрос к отвечающему: «Скажи, важна ли проверка в иррациональных уравнениях, решаемых таким способом и почему?»
(Предполагаемый ответ: да, так как могут появиться посторонние корни).
Учитель: Возможность появления посторонних корней обязывает нас быть очень внимательными при решении иррациональных уравнений.