Поетапне управління фундаментальною підготовкою передбачає застосування різних типів лекцій, кожна з яких виконує певну роль на конкретному етапі навчання: репродуктивного рівня (вступна, тематична, оглядова) та продуктивного рівня (проблемна, лекція-візуалізація тощо).
Метою використання системи лекцій репродуктивного рівня є передача інформації в готовому вигляді, формування інтересу до проективної геометрії. Завдання викладача – методично правильний підбір джерел інформації для самостійного опрацювання. Так, вступна лекція має на меті дати студентам загальне уявлення про завдання всього курсу проективної геометрії, розкрити структуру, зв'язок з іншими розділами геометрії (аналітичною, конструктивною, диференціальною) та іншими дисциплінами. Головне завдання вступної лекції – сприяти розвитку в студентів інтересу до предмета з метою його творчого засвоєння. Тематична лекція присвячується розкриттю конкретної теми навчальної програми з конкретної дисципліни (наприклад, низка лекцій, присвячених теоремі Дезарга: "Теорема Дезарга в просторі (пряма і обернена). Теорема Дезагра на площині. Двоїстость прямої і оберненої теореми Дезарга на площині" тощо). Оглядові лекції читають студентам перед державними іспитами.
Метою лекцій продуктивного рівня є розвиток математичного мислення, ознайомлення з актуальними проблемами математики, розвиток професійної мотивації тощо. В ході проблемної лекції нове вводиться як невідоме, яке необхідно "відкрити". Мета викладача, створивши проблемну ситуацію, – спонукати студентів до пошуків вирішення проблеми, крок за кроком підводячи їх до шуканого результату. Для цього новий теоретичний матеріал подається у формі проблемного завдання. В його умовах є суперечності, які потрібно знайти й розв'язати. На нашу думку, саме такий тип лекції є доречним при вивченні перших тем програми курсу: "Побудова евклідової моделі проективного простору", "Великий та малий принцип двоїстості". Лекція-візуалізація виникла як результат пошуку нових можливостей реалізації принципу наочності. Матеріал подають усно, відтворюючи у візуальній формі. Демонстраційні матеріали виступають носіями змістової інформації, яка сприймається, усвідомлюється й може служити опорою адекватних думок і практичних дій. Наприклад, у допомогу викладачеві студентом п'ятого курсу фізико-математичного факультету Черкашиним І. була створена демонстраційна модель для побудови відповідних елементів проективної відповідності двох форм першого ступеня, точок кривої другого порядку за теоремою Паскаля, прямих пучка другого порядку за теоремою Бріаншона.
В основі лекцій зазначеного рівня лежить продуктивна інформація. Її створює студент на основі випередження її засвоєння, за таких умов він констатує знання й шляхи їх здобуття у власній свідомості. Для реалізації поставлених завдань викладач концентрує увагу студентів на проблемах, які необхідно розв'язати на черговому лекційному занятті (принцип випереджального навчання). Головне – вміти правильно виявити, позначити й сформулювати ці проблеми. Таким чином, студент, виконуючи завдання викладача перед лекцією, вже знає певний матеріал і має власні думки щодо окреслених викладачем проблем. Очевидно, що в такій ситуації виникає підвищена мотивація до навчання: студенту цікаво, яке розв'язання проблем, виявлених на лекції, висуне викладач і як воно співвіднесеться з його власним. Студент і викладач на таких лекціях виступають як рівні колеги; в основі спілкування лежить діалог в його внутрішньому прояві, що підвищує ефективність навчання на лекції.
Загальним для всіх типів лекцій є їх професійна спрямованість. У процесі викладання моделюється не лише зміст, але й враховуються педагогічні умови, які на нього впливають: специфічна форма фундаментальної підготовки майбутніх учителів математики, особистість самого викладача, власна позиція його щодо питань фундаментальної підготовки, вміння пояснити існуючі суперечності визначеної проблеми, показати розв’язання деяких суперечностей науковими розробками зарубіжних і українських науковців, що допомагає майбутнім педагогам визначити свою позицію стосовно фундаментальної підготовки.
Важливою формою фундаментальної підготовки у вищому навчальному закладі є науково-дослідна робота. Обов’язковими видами цієї роботи є написання курсових, а також, за бажанням, дипломних робіт. У розробці тематики визначених видів робіт ми дотримувалися системного підходу, який передбачає наскрізне дослідження теми. Також враховували, що обсяг тематики курсових робіт повинен узгоджуватися з тематикою дипломних робіт. Особливістю написання курсових робіт на фізико-математичному факультеті є, по-перше, те, що мета їх написання – розкрити питання, які не ввійшли до навчальної програми або на які відведено мало годин (наприклад, функціональні рівняння); по-друге, пояснення матеріалу за допомогою іншого розділу певного навчального предмета (довести подане твердження, спираючись на апарат аналітичної, проективної та диференціальної геометрії) або іншої навчальної дисципліни (фізики, інформатики тощо); по-третє, обов’язкове застосування цієї теорії в процесі роз’язання задач. Тематика дипломних робіт дає можливість студентам глибше відстежити певні аспекти досліджуваної проблеми.
Наприклад, на четвертому курсі запропонувано тему курсової роботи "Методика обґрунтування методу внутрішнього проектування в позиційній геометрії". За умов впровадження науково-методичного супроводу тема дипломної роботи студента п'ятого курсу може бути сформульована так: "Психолого-педагогічні основи навчання методу внутрішнього проектування в курсі стереометрії загальноосвітньої школи".
Науково-дослідна робота реалізується і в таких формах, як робота в проблемних групах, участь в олімпіадах, науково-практичних конференціях тощо. Їх основне завдання – формування прикладних умінь, розвиток потреби в творчій діяльності, професійній самоосвіті, оволодінні навичками науково-дослідної роботи.
Нестандартність організації практичних занять за розробленою технологією полягає у використанні в ході їх проведення таких трьох групових форм: індивідуально-групової, єдиної групової та диференційовано-групової. Колективна праця активізує розумову діяльність студентів, підвищує відповідальність перед товаришами за виконання завдань, виховує такі якості, як взаємодопомога і взаємоконтроль, сприяє кращому засвоєнню навчального матеріалу.
Дамо характеристику кожної із зазначених форм.
Мета організації індивідуально-групової (ІГ) форми навчання полягає в тому, щоб кожен студент засвоїв знання не стільки самостійно, скільки внаслідок спілкування з товаришами та організації дискусій, які часто виникають під час обговорення розв’язків. У результаті запам’ятовування відбувається мимовільно, що забезпечує міцні й глибокі знання. Крім того, така форма роботи виховує в майбутніх учителів взаємну відповідальність, почуття колективізму, задовольняє природну потребу молоді в спілкуванні, розвиває їх організаторські й педагогічні здібності. Організацію ІГ форми навчальної діяльності можна проілюструвати на прикладі виконання індивідуальних завдань з проективної геометрії. Для використання цієї форми навчання поділяємо студентів навчальної групи на мікрогрупи (так звані групи-"зірочки") згідно з математичними здібностями та педагогічними схильностями (див. додаток Л).
Метою використання єдиної групової (ЄГ) форми навчальної діяльності є економія часу на виконання всього завдання, можливість для викладача збільшити кількість завдань на занятті й розподілити роботу в групі-"зірочці" таким чином, щоб кожний її член повністю охопив усі етапи. Організація ЄГ форми відбувається таким чином: усі групи-"зірочки" отримують однакове завдання, наприклад: "Дано дві паралельні прямі. На одній із них задано відрізок. Лише за допомогою лінійки поділити відрізок на п'ять рівних частин". Якщо попередньо зі всією академічною групою цю задачу розв’язати фронтально і студенти обізнані зі всіма етапами побудови, можна організувати групову форму роботи для виконання поставленого завдання. У такому разі всі студенти виписують проміжні етапи виконання завдання, а саме додаткові задачі, які потрібно розв'язати: 1) на одній з двох паралельних прямих дано відрізок; за допомогою лінійки поділити його навпіл; 2) на прямій дано відрізок із серединою; тільки лінійкою через точку поза прямою провести пряму, паралельну до заданої; 3) за допомогою лінійки через точку, що не належить двом паралельним прямим, провести пряму, яка паралельна до заданих; 4) на одній із двох паралельних прямих дано відрізок; лише за допомогою лінійки збільшити даний відрізок удвічі; 5) на одній із двох паралельних прямих дано відрізок; лише за допомогою лінійки збільшити даний відрізок у п'ять раз; 6) на одній із двох паралельних прямих задано відрізок; лише за допомогою лінійки поділити відрізок на п'ять рівних частин. Потім старший групи або викладач призначає етапи виконання завдання відповідно до індивідуальних особливостей студентів. Наслідки побудов, проведених в інших групах-"зірочках", обговорюються зі всіма студентами фронтально.
Мета використання диференційовано-групової (ДГ) форми організації навчальної діяльності – підвищити активність студентів на занятті, знаходити раціональні шляхи розв’язання, точність побудови, прищеплювати навички колективної науково-дослідної роботи. Студенти різних груп одержують різні завдання. Наприклад, на заняттях з проективної геометрії під час вивчення теми "Ряди ІІ-го порядку" одні групи-"зірочки" проводять побудову точок та дотичних за означенням рядів ІІ-го порядку через проективну відповідність, інші – за теоремою Паскаля чи Бріаншона. Члени груп-"зірочок" виконують побудову самостійно, потім результати зіставляють. У такому разі часто трапляється, що між групами виникають дискусії щодо раціональності побудови залежно від обраного методу.