График функции
состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс, образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1 [10]. 3) Функция
. Дробную часть числа можно определить через его целую часть:
. Поскольку целая часть
не превосходит
, то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0. Примеры: {
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAA8AAAAPCAYAAAA71pVKAAAAAXNSR0ICQMB9xQAAAAlwSFlzAAAOxAAADsQBlSsOGwAAABl0RVh0U29mdHdhcmUATWljcm9zb2Z0IE9mZmljZX/tNXEAAAC1SURBVDjLY2hsbGQgFzMMHs0dHWk8HjIMexgYGP5jxcZRC7FqBmuUlV3pkVdvGG1sXB9bXy+JLIbX5vq8SNXIvHrV+vpYSWPj6HqImIehrKzHyrSODh6i/JznZpwCsynKmGGhcXSDD1F+Btsq5z4LZBOIbcRgtBvkfKI057jJFsNsaog29kEOILyawYplPPbA/AdysqxbTjFyGGDVDA4YBtmbyKEKcgUkiozvYnP6IEphdNMMABjpSChdA7M9AAAAAElFTkSuQmCC)
}=
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAA8AAAAPCAYAAAA71pVKAAAAAXNSR0ICQMB9xQAAAAlwSFlzAAAOxAAADsQBlSsOGwAAABl0RVh0U29mdHdhcmUATWljcm9zb2Z0IE9mZmljZX/tNXEAAAC1SURBVDjLY2hsbGQgFzMMHs0dHWk8HjIMexgYGP5jxcZRC7FqBmuUlV3pkVdvGG1sXB9bXy+JLIbX5vq8SNXIvHrV+vpYSWPj6HqImIehrKzHyrSODh6i/JznZpwCsynKmGGhcXSDD1F+Btsq5z4LZBOIbcRgtBvkfKI057jJFsNsaog29kEOILyawYplPPbA/AdysqxbTjFyGGDVDA4YBtmbyKEKcgUkiozvYnP6IEphdNMMABjpSChdA7M9AAAAAElFTkSuQmCC)
-3; {-7}=0; {5}=0; {3
![](data:image/png;base64,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)
}=
![](data:image/png;base64,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)
; {-27,52}=-27,52-(-28)=0,48.
Исходя из определения, устанавливаются свойства функции
: 1. область определения
![](data:image/png;base64,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)
;
2. множество значений
![](data:image/png;base64,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)
;
3. функция ограничена
![](data:image/png;base64,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)
;
4. для любого действительного числа
и любого натурального ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAA0AAAAPCAYAAAA/I0V3AAAAAXNSR0ICQMB9xQAAAAlwSFlzAAAOxAAADsQBlSsOGwAAABl0RVh0U29mdHdhcmUATWljcm9zb2Z0IE9mZmljZX/tNXEAAADeSURBVDjLY2hsbGQgFTPQXxMQMAIxMxQzgsRWMTAwQfj/GbFqaij2MJBlYHgFVPTPOLrBJy0tlM9TlmEX0KS/sm45xTidV14eK2XEYLQ7tDrUyJhB9oRHXr1hjptsiaxHXhFOTfWRxr4MxlELo42N62Lr6yU7OtJ4PGRlV4I049QUZcSwSFZW9ohxbIM3iF+d5WIkK+u5Iq2jgwerpvr6WEljBsY7sh5ZcKeAnQb0D86AQDcVZIgRg+wpt0i3FFOPvGSsmrI8ZIuQbQGFphwDw0sGWfddOJ03yJMRKRgAwD4SKqzAqRMAAAAASUVORK5CYII=)
выполняется равенство
![](data:image/png;base64,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)
. Таким образом, исследуемая функция является периодической, ее период – любое натуральное число, наименьший период 1;
5. на каждом промежутке
![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAAVCAYAAAD8dkbIAAAAAXNSR0ICQMB9xQAAAAlwSFlzAAAOxAAADsQBlSsOGwAAABl0RVh0U29mdHdhcmUATWljcm9zb2Z0IE9mZmljZX/tNXEAAAJiSURBVFjD7ZfBTttAEIbH4YrKGeL1M4Cn917AWant0RIQ+dKDVUXIhwS0BxCb3PIIiB4o3Jo3aIAHgBeo2ogHQH2FNu2ut9tsArbXRlBEiTSH2Duz89kz/6yh1+vBU7cnDzgFOQCoAcCcskHNXBT+vf7LKRO8qp+NqXwneYpfLRey34/nqQtnAM5YLP4BpDGM+/15eY/zaBEBRuL6mNCkbZtEVT8bi+PwReDCObj0TOap9sLPIWN1sZ+TD4mbx1kJ+0AuacJXyiRT1W+Q81ZUTPjmAPzUkPJ6t0OXPfC+rLZ2sRLkbmvVJ4R+0gFtrYqfzKXh4WHE+WLeuq2AdExIDUoAL0LG66UhRcBtwOZHWQqTvlW9Ntsbtn73ASktoaQ9y1EIqe9h1H3NE7pCwPme9q0wQqO9BoGh2cN2fq32fUGqvfzLiLEla8i05KST2JSxsI7Y3LcuVUs/U9mFqCysefghTBI3S+1zIZXgXWGz+8YaMi05f/1EJI06aRvIMn6bCEf6LUsTtT02/4u8jspCkmCrYw0pEjgGqWSp4ZUtZFW/O5drWUjGoiU9AlStk69Cov0/wzdTPKr6lYTczi1XoQVWkHwD3wKhpzJQuobAKQne78i+obT5bqKa4VwZv7tCypPUug8n4AbnYRwvmA/O1AIrSNkrphK2pDynfeJd0053WQ1guBblODKDFvkVQQbey4MsSH0YmPTsdEw1tqZ72GpOFp1P+QZ9VZT8Q1iq4oDD2Qc0DSnUMEuyc5/qLer3bwBhZPbiDch0qOsSuGW4P2bTB/SsEv+/viefIZ8hH7/9Bkvhlc3XsdoDAAAAAElFTkSuQmCC)
функция
![](data:image/png;base64,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)
возрастает, хотя на всей области определения возрастающей не является, она немонотонная.
Вследствие периодичности функции ее график достаточно построить на промежутке
, на остальных промежутках области определения график строится, используя периодичность функции (рис. 25).График функции
изобразится изолированными отрезками прямых на каждом промежутке
,
, области определения. Эти отрезки геометрически представляют диагонали квадрата со стороной, длина которой равна 1 (длина каждого из отрезков
). Левая крайняя точка диагонали имеет координаты
, правая крайняя точка с координатами
графику функции не принадлежит. На каждом из указанных промежутков области определения графиком является отрезок прямой, параллельной прямой
. Следовательно, функция
, имеет «разрыв» в каждой точке с целочисленными абсциссами [10].Закрепление полученных знаний
Пример 1.Построить график функции:
.Чтобы понять, как будет выглядеть график функции
, надо взять несколько значений
из каждого промежутка и посмотреть, что будет происходить с функцией. Возьмем значения
из промежутка
.Значение функции для
из промежутка
равно -1, т. е. график на этом промежутке будет представлять собой отрезок прямой
. Далее, рассуждая аналогично, получим график(рис. 26).Учащиеся в парах решают задания, записанные на доске. После выполнения задания разбираются на доске.
Построить графики функций. 1)
; 2)
; 3)
.Приложения кусочно-линейных функций достаточно разнообразны. Некоторые классы текстовых задач решаются с помощью функций
и
. Задачу с помощью учителя решает на доске ученик.
Пример 2.Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля? [10].
Решение. Обозначим длину кабеля
(м). Тогда составим уравнение
или
. Так как
, то
, поэтому
. Тогда
. Искомая длина кабеля 4,8 (м).Ответ:4,8 м.
Подведение итогов занятия
- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?
- Что нового вы узнали на занятии?
Методические рекомендации. Изучение функций «сигнум
», «антье от
», «дробная часть
» программой общеобразовательной школы не предусмотрено, эти функции изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Все они являются «кусочно-линейными», то есть заданными линейно (в виде различных линейных зависимостей) на различных промежутках области определения. Изучение кусочно-линейных функций должно следовать за функцией «модуль числа». Для изучения данных функций подходит аналитико-графический путь: от определения и свойств к их графическим иллюстрациям.
Тема 4. Построение графиков функций
Занятие № 12. График сложной функции
Цель: научить учащихся применять полученные знания для построения графиков сложной функции.
Ход занятия:
Актуализация изученного ранее материала
На данном этапе занятия учащиеся вспоминают материал по теме преобразование графиков, для этого подбирается соответствующая система заданий. Актуализация знаний проводится в коллективной форме.
Систематизация изученного материала
Пусть требуется построить график функции
. При этом предполагается, что построение графика функции
легко выполнимо или же ее график в данной системе координат построен. Искомый график получается с помощь геометрических преобразований из графика исходной функции
. Каждой паре функций, в зависимости от значений параметров
соответствует определенное геометрическое преобразование [16]. Представим это соответствие в таблице.Изучение данной темы обеспечивается знанием предыдущих тем. При заполнении таблицы проводится фронтальный опрос учащихся.
Закрепление полученных знаний