Обучение решению задач на проценты в курсе алгебры основной школы (стр. 3 из 9)
Традиционно тема «Проценты» изучается в рамках младших классов среднего звена. Можно выделить несколько подходов к изучению данной темы.
Первый подход. Рассмотрение процентов ведется как отдельная тема, без опоры на дроби. Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия. Изучение дробей ведется отдельной темой, гораздо позже задач на проценты. Таким образом, обучение идет от частного к общему, что менее эффективно и дает меньше возможностей для развития обучаемого.
Второй подход. Задачи на проценты осваиваются как частный случай задач на дроби и все приемы решения переносятся на них, то есть изучение идет от общего случая – задач на дроби, к частному. В большинстве современных учебников реализован второй подход.
Рассмотрим более подробно изучение данной темы в некоторых современных учебниках, рекомендованных Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в основной школе.
По учебникам [19], [21] тема «Проценты» изучается в V классе. Перед введением понятия «процент» автор предлагает рассмотреть примеры:
«Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – акром. Принято называть сотую часть любой величины процентом».
Рассматриваются три основные задачи на проценты:
Задача вида К1.
Пример 1: Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день?
Решение:
120 м составляет 100%
1) 120:100 =1,2 м составляет 1%.
2) 
м отремонтировано бригадой за день.
Ответ: За день бригада отремонтировала 48 м дороги.
Задача вида К2.
Пример 2: Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?
Решение:
Неизвестное число – 100%.
1) 72:30=2,4 страницы составляет 1%.
2) 
страниц составляет 100%.
Ответ: В книге 240 страниц.
Задача вида П1.
Пример 3: В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу?
Решение:
40 учащихся составляют 100%.
1) 40:100=0,4 составляет 1%.
2) 32:0,4=80; 32 ученика составляют 80%.
Ответ: 80% учащихся правильно решили задачу.
Однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он обладает определенными преимуществами:
а) проще для выполнения вычислений;
б) приучает учащихся к выделению числа, принимаемого за 100%;
в) требует проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не включают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты.
Учебник предполагает решать некоторые задачи на проценты с помощью уравнений. Эта рекомендация относится по существу к двум видам задач: нахождение числа по данному числу его процентов и нахождение процентного отношения двух чисел. Опыт преподавания математики в V классе показывает, что учащиеся сталкиваются с определенными трудностями в процессе решения задач на проценты, что связано в основном с недостаточной осознанностью учащимися способа приведения к единице. Поэтому отработка сущности этого способа в два действия имеет решающее значение в обучении решению задач на проценты, особенно на начальном этапе усвоения знаний. Задачи, рассмотренные в примерах 2 и 3, могут быть решены с помощью уравнений. В V классе решение задач с помощью уравнений вызывают у учащихся значительные трудности.
Эта тема является одной из последних в курсе V класса. Далее авторы специально к теме не возвращается. Это не очень удачно, так как тема объективно трудная.
Несколько другой подход к этой теме в учебниках [22] [23]. Изучение процентов начинается в конце V класса. Авторы определяют процент, как иное название одной сотой. «Мы знаем, что одна вторая иначе называется половиной, одна четвертая – четвертью, три четвертых – тремя четвертями. Особое название имеет и одна сотая: одна сотая называется процентом». Учащиеся рассматривают только два вида задач:
Задача вида К1.
Пример 4. В школе 800 учащихся, 15% из них за четверть получили пятерки по математике. Сколько учеников получили пятерки по математике?
Решение:
Найдем вначале один процент, или одну сотую, от числа учащихся.
800: 100=8.
Чтобы найти 15%, нужно выполнить умножение:
=120.
Ответ: 120 учеников получили пятерки.
Большое внимание уделяется связи дробей (десятичных и обыкновенных) и процентов.
Задача вида П1.
Пример 5. Сколько процентов от 1 м составляет 1см, 9 см, 0,15 м?
В VI классе авторы снова возвращаются к этой теме. Учащиеся повторяют материал, изученный в V классе, и рассматриваются новые задачи. При этом для каждого вида задач проводится аналогия с действиями над десятичными и обыкновенными дробями, формулируется правило:
Для задачи вида К1.
«1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) умножить данное число на эту дробь»
А также для задачи вида К2.
«1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) разделить данное число на эту дробь»
Пример 6. За контрольную работу по математике отметку «4» получили 9 учеников. Это составляет 36% от всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?
Решение:
Выразим проценты обыкновенной или десятичной дробью: 36%= 
=0,36.
Воспользуемся правилом нахождения числа по его дроби:
9: 
= 
=25 или 9:0,36=25
Ответ: в классе было 25 учащихся.
Далее рассматривается задача вида П1.
Сначала учащиеся рассматривают выражение частного двух чисел в процентах: «чтобы выразить частное в процентах, нужно частное умножить на 100 и к полученному произведению приписать знак процента».
Только после этого они переходят к решению задачи П1.
«Для этого нужно
1) первое число разделить на вторе;
2) полученное частное выразить в процентах»
Пример 7. В классе 25 учащихся, из них 20 пионеров. Сколько процентов составляют пионеры?
Решение:
Для решения нужно частное 
выразить в процентах. =0,8=80%.
Ответ: пионеры составляют 80%.
В конце темы рассматривается задача вида П2 и П3.
«… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:
1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
2) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины»
Пример 8. До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения – 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?
Решение:
Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р.
Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: 
=0,08=8%
Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%.
Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении начинается лишь в конце года только в сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Поэтому нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений.
В учебниках [7], [8] понятие процента также изучается в конце V класса. Перед введением определения рассматриваются примеры употребления понятия «процент»:
«Всхожесть семян составляет 98 процентов; в выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей… ». Процент определяется как обозначение сотой доли. В V классе авторы рассматривают только два вида задач: задачи вида К1 и К2. Решение этих задач осуществляется арифметическим способом. Большое внимание уделяется вопросу, какую величину взять за 100%.
Далее тема «Проценты» изучается в VI классе. Здесь рассматриваются те же виды задач, но решение осуществляется уже алгебраическим способом (составление линейных уравнений). Авторы формулируют правила нахождения части от целого и целого по его части:
«1) чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь (соответствующее этой части);
2) чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь».
После этого тема не рассматривается.
Несколько другой подход в учебниках [2], [3]. Проценты начинают изучаться в начале VI класса. Вводится понятие процента как одной сотой части числа (величины). Рассматриваются задачи трех типов:
а) нахождение процентов от данного числа К1.
Сначала рассматривается нахождение 1% от данного числа. Затем - нахождение произвольного числа процентов.
б) нахождение числа по данному числу его процентов К2.
Также в первую очередь обсуждается, как найти число, 1% которого известен. Затем эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов.
в) нахождение процентного отношения двух чисел П1. Авторы формулируют правило «Чтобы отношение двух чисел выразить в процентах, можно это отношение умножить на 100»