Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов на примере учебников по алгебре под ред (стр. 9 из 16)
Эта задача является достаточно трудной для восьмиклассников. За образец можно принять рассуждение, проведенное при построении графика
в 7 классе (учебник [1], глава 5, пункт 5.4).Приведем эти рассуждения:
При х = 0 функция не определена. Проанализируем формулу отдельно для положительных и отрицательных чисел.
Модуль положительного числа равен самому числу. Значит, при х > 0 выполняется равенство
. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Значит, при х < 0 формула принимает вид 
. Поэтому условие 
можно записать следующим образом: 
Таким образом, требуется построить график кусочно-заданной функции.
В результате изучения этого пункта учащиеся должны уметь строить и читать график функции
.2.4. Методические рекомендации по изучению функциональной линии в 9 классе.
В учебнике 9 класса содержится одна глава, посвящённая функциям: «Квадратичная функция».
Эта глава разделена на пять пунктов, четыре из которых посвящены функциональной линии:
1. Какую функцию называют квадратичной.
2. График и свойства функции
.3. Сдвиг графика функции
вдоль осей координат.4. График функции
.5. Квадратные неравенства.
Основные цели этой главы – познакомить учащихся с квадратичной функцией как с математической моделью, описывающей многие зависимости между реальными величинами, научить строить её график и читать по нему свойства этой функции, сформировать умение использовать данные графика для решения квадратных неравенств.
Изучение темы начинается с общего знакомства с функцией у = ах2 + bх + с. На готовом чертеже выявляются основные особенности её графика. В небольшом историческом экскурсе «раскрывается» геометрическое «происхождение» параболы и приводятся примеры использования её свойств в технике. Этот вводный фрагмент, сопровождаемый серией разнообразных заданий, делает дальнейшее изучение темы осознанным и целенаправленным.
Далее изложение материала осуществляется следующим образом: сначала рассматриваются свойства и график функции у = ах2. Затем изучается вопрос о графиках функций у = ах2+ q, у = а(х + р)2, у = а(х + р)2 + q, которые получаются с помощью сдвига вдоль осей координат «стандартной» параболы у = ах2. Наконец, доказывается теорема о том, что график любой функции вида у = ах2 + bх + с может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах2.
Теперь учащиеся по коэффициентам квадратного трехчлена ах2 + bх + с могут представить общий вид соответствующей параболы и вычислить координаты её вершины.
В системе упражнений значительное место отводится задачам прикладного характера. Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств, используемый при этом прием основан на использовании графиков.
Примерное распределение учебного материала
(Всего на тему отводится 20 ч)
| Название пунктов в учебнике | Число уроков |
| 2.1. Какую функцию называют квадратичной | 3 |
| 2.2. График и свойства функции у = ах2 | 3 |
| 2.3. Сдвиг графика функции у = ах2вдоль осей координат | 4 |
| 2.4. График функции у = ах2 + bх + с | 5 |
| 2.5. Квадратные неравенства | 4 |
| Зачет | 1 |
Изучение первого пункта «Какую функцию называют квадратичной» преследует две цели:
1) создание первоначальных представлений о графике квадратичной функции, знакомство с параболой как с геометрической фигурой;
2) повторение некоторых общих сведений о функциях, известных учащимся из курса 8 класса.
Этот пункт очень важен для осознанного изучения дальнейшего материала. При работе с теоретической частью и выполнении заданий учащиеся должны будут проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.
Вначале приводится определение квадратичной функции (квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида
, где a, b и c – некоторые числа, причём a≠0), которое иллюстрируется примерами зависимостей из геометрии и физики. Авторы делают замечание, что данная функция необязательно должна состоять из трёх слагаемых, главное, чтобы было слагаемое, содержащее квадрат независимой переменной.Затем отмечается, что график любой квадратичной функции – это парабола и приведены различные виды парабол (из жизни).
После этого рассматривается построение графика функции
. Здесь же вводится понятие области значений функции.При этом сначала рассуждения проводятся с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Таким образом, формирование таких понятий, как наименьшее (или наибольшее) значение квадратичной функции, неограниченность сверху (или снизу) происходит с опорой на наглядные представления. Авторы учебника замечают, что рассуждения, проведенные для конкретной функции у = х2 –2х – 3, носят общий характер.
Далее рассматривается график квадратичной функции, описывающей реальный процесс, а в упражнениях дана серия вопросов, на которые в подобных случаях должны отвечать учащиеся.
После этого рассматривается параболоид (фигура, полученная вращением параболы вокруг оси симметрии) и приводятся примеры параболоидов (например, фары автомобиля). Теоретическая часть пункта завершается рассказом об особенностях параболических зеркал.
Система упражнений:
- упражнения на восстановление навыка использования функциональной символики, а также приёмов нахождения значения у по заданному значению х (и наоборот) с использованием формулы и графика;
- упражнения на овладение одним из алгоритмов построения графика квадратичной функции (вершины, оси параболы и с помощью симметричных точек).
Комментарии к некоторым упражнениям:
№ 184. Найдите на рисунке 10 график функции
, где 
. Запишите на символическом языке утверждение и проверьте, верно, ли оно:а) Верно ли, что g(2) > 0, g(–1) < 0, g(3,5) > 0;
б) укажите несколько значений х, при которых g(х) > 0, g(х) < 0.
Рис. 10
Указание. Учащиеся должны сформулировать общее утверждение: если точка графика расположена выше оси х, то g(x) > 0; если точка лежит ниже оси х, то g(x) < 0.
№ 186. Найдите нули функции
или покажите, что их нет:а)
;б)
;в)
;г)
.В каждом случае опишите полученный результат на геометрическом языке. Попробуйте схематически изобразить соответствующую параболу в координатной плоскости.
Указание. Учащимся ещё неизвестно о зависимости направления ветвей параболы от знака первого коэффициента квадратного трехчлена, поэтому и ответ о расположении графика по идее должен быть неоднозначным. Таким решением можно ограничиться на данном этапе изучения темы. В то же время с сильными учениками обсуждение вопроса целесообразно продолжить. Быть может, кто-то из них, рассматривая рис. 10 и строя графики по точкам, обратит внимание на то, что при а > 0 ветви параболы направлены вверх. Нужно сказать, что это верное умозаключение, но оно нуждается в доказательстве. Однако выяснить положение параболы не сложно.
№ 187. Докажите, что:
а) числа –4 и 3 являются нулями функции
;б) функция
не имеет корней.В каждом случае сформулируйте задачу иначе, используя слова: «уравнение» и «корень уравнения», «трёхчлен» и «корень трёхчлена», «график функции» и «точка пересечения».
Решение.
а) Можно убедиться подстановкой, что при
и х = 3 значение трехчлена 
равно нулю, а можно решить уравнение 
.