Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов на примере учебников по алгебре под ред (стр. 14 из 16)
Оборудование: [10], [35].
Описание урока:
Введение понятия линейной функции можно мотивировать рассмотрением нескольких примеров (желательно, чтобы среди этих примеров содержались такие, в которых коэффициенты k и b отрицательны или равны нулю).
Пример 1: Если тело движется с постоянным ускорением 0,2 см/сек2, а его начальная скорость равнялась 4 м/сек, то зависимость скорости движения v (в см/сек) от времени движения t (в сек) выражается формулой v = 4 + 0,2t.
Пример 2: Ученик купил тетради по 10 р. за штуку и ручку за 5 р. Задайте формулой зависимость стоимости покупки от числа тетрадей.
Учащиеся должны получить формулу у = 10х + 5.
Пример 3: В полном баке легкового автомобиля 30 л. бензина. На каждый километр пути в среднем расходуется 0,1 л. Количество литров бензина r, которое останется в баке после s км пути, выражается формулой
.Пример 4: Поезд движется из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120 км/ч. какой путь пройдёт поезд за t часов?
Учащиеся должны получить формулу у = 120t.
После рассмотрения этих примеров учитель должен обратить внимание учеников на то, что полученные в этих примерах формулы по структуре одинаковы, а отличаются лишь буквами и числовыми коэффициентами, то есть величины разной природы фактически связаны между собой одной и той же зависимостью. Можно предложить ученикам самим сделать этот вывод. Далее нужно заключить, что эти, а также многие другие процессы описываются линейной функцией, которая является их общей математической моделью. После этих выводов вводится определение линейной функции: функция, которую можно задать формулой вида
, где k и b – некоторые числа, называется линейной. После введения определения проверить, что эта формула действительно задаёт функцию, т.е. надо проверить однозначность операций.Необходимо обратить внимание учеников на то, что коэффициенты k и b могут быть, как положительными, так и отрицательными (пример 3). Так же эти коэффициенты могут быть нулевыми (пример 4), в этом случае линейная функция носит особое название. Если b = 0, то формула принимает вид
и называется прямой пропорциональностью, а если k = 0, то 
и линейная функция называется постоянной.После этого можно перейти к упражнениям на отработку понятия «линейная функция».
1. Установите, задаёт ли формула линейную функцию, и назовите, чему равны коэффициенты k и b:
a)
;b)
;c)
;d)
;e)
;f)
;g)
;h)
;i)
;j)
;k)
;l)
;m)
;n)
.2. (№ 293, [10]). Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?
Затем можно перейти к упражнениям на выведение первичных следствий. В данном случае – это упражнения на конструирование линейной функции.
Задайте линейную функцию, если известны коэффициенты k и b:
a) k = 5, b = 1;
b) k = –2,5, b = 0;
c) k = 10, b = –4,3;
d) k = –5, b = –11;
e) k = 0; b = 6,2;
f) k = –4,1; b = 15.
После этого можно разобрать упражнение, в котором по известному аргументу надо найти значение функции и наоборот по известному значению функции найти аргумент:
№ 756 ([35]). Дана линейная функция 
.
а) Найдите
, 
, 
, 
; 
.б) Найдите значение х, при котором
, 
, 
, 
.Затем рассматривается вопрос о графике линейной функции. Здесь можно предложить построить несколько графиков (коэффициенты k и b должны быть, и положительными, и отрицательными, и равными нулю) и сделать вывод, что графиком линейной функции является прямая. Обратить внимание учащихся на то, что для построения графика линейной функции достаточно знать две точки. Это можно связать с геометрией: через две точки можно провести прямую и при том только одну.
Построить два или три графика прямой пропорциональности.
Пример 5: Построить графики функций
, 
и 
.Сделать выводы, что график прямой пропорциональности проходит через начало координат и что график функции
можно получить из графика функции 
с помощью параллельного переноса.Аналогично построить несколько графиков постоянных функций и сделать вывод, что график постоянной функции параллелен оси х.
Затем разобрать несколько примеров на построение графика линейной функции:
1. (№ 759 [35]). Постройте график функции:
а)
, где 
;г)
, где 
.2. (№ 324, [10]). Постройте график прямой пропорциональности у = 2х. Найдите значение с помощью графика:
a) какое значение принимает функция при х, равном 2; 2,5; 3; 4;
b) при каком х значение функции равно 7.
В заключение урока можно рассмотреть прикладное значение линейной функции: применение линейной функции в физике. Многие физические процессы описываются с помощью линейной функции, например, при равнопеременном движении скорость является линейной функцией времени: v = v0 + at.
Для домашнего решения можно предложить следующие упражнения:
1. (№ 757, [35]). Найдите значение линейной функции
при указанных значениях аргумента и заполните таблицу: | x | –2,5 | –1 | 0 | 1,5 | 8 | 10 |
| f(x) |
2. (№ 759, [35]). Постройте график функции:
б)
, где 
;в)
, где 
.3. (№ 762, [35]). У вас имеется 10 р., и есть два способа увеличить эту сумму: ежедневно добавлять к ней 5 р. или ежедневно добавлять к ней 2 р. Составьте для каждого случая формулу зависимости имеющейся суммы денег у от числа дней х. В каком случае сумма будет увеличиваться быстрее?
Урок № 2
Тема: Свойства линейной функции.
Цели урока:
1. Образовательные:
- повторить определение линейной функции;
- вспомнить свойства функций, известные ученикам к этому времени;