Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов на примере учебников по алгебре под ред (стр. 11 из 16)
3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояние до точки F и до прямой d.
4) Сделайте вывод из полученных результатов.
5) Докажите, что все точки параболы
равноудалены от точки F и прямой d.Указание. Нужно взять произвольную точку параболы (х;
) и составить выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки F и прямой d.В основу этой задачи положено определение параболы как геометрического места точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки и от данной прямой, не проходящей через эту точку. Это определение эквивалентно тому, которое (в неявном виде) используется в школьном курсе: парабола – это линия, которая является графиком уравнения у = ах2.
Обязательным результатом изучения данного пункта следует считать умение формулировать утверждение о том, что представляет собой график функций у = ах2, изображать этот график схематически для а > 0 и а < 0 и строить его по точкам для конкретного значения а. Свободное владение этими опорными знаниями необходимо для усвоения дальнейшего материала. Школьники должны знать еще и о симметрии графиков функций у = ах2 относительно оси х при противоположных значениях а, и об изменении «крутизны» параболы при изменении а.
В следующем пункте «Сдвиг графика функции
вдоль осей координат» рассматривается сдвиг функции 
. Сначала строится график функции 
, а затем этот график сдвигается (вверх, вниз, вправо, влево) и определяется, какую функции задаёт этот график. Затем делаются выводы:1. Чтобы построить график функции
, нужно перенести параболу 
вдоль оси у на q единиц вверх, если q > 0, или на 
единиц, если q < 0. При этом вершина параболы окажется в точке 
2. Чтобы построить график функции
, нужно перенести параболу вдоль оси х на р единиц влево, если р > 0, или на 
единиц вправо, если р<0, при этом вершина параболы окажется в точке 
.Эти формулировки учащиеся запоминать не обязаны. Понимание сути вопроса лучше проверить при выполнении конкретных заданий.
После этого рассматривается несколько примеров, а затем делается вывод о том, как построить график функции
(из графика функции с помощью параллельных переносов вдоль осей абсцисс и ординат в зависимости от знака чисел q и р).Система упражнений.
Большая часть упражнений нацелена не только на отработку навыков построения графиков функций вида у = ах2 + q и у = а(х + р)2, но и на умение распознавать тип формулы, а также использовать графические соображения для исследования свойств функций. Кроме того, есть упражнения на построение графиков функций вида у = а(х + р)2 + q и у = ах2 + bх + с. Увеличивать число упражнений такого типа нецелесообразно, отработка соответствующих умений здесь не предполагается (более того, с основной массой учащихся это вряд ли возможно). Также в этом пункте содержаться задачи с параметром (в некоторых заданиях параметр присутствует неявно); задачи, предполагающие перенос приемов построения графиков с помощью сдвигов вдоль осей на функции других видов; построение графиков кусочно-заданных функций.
Комментарии к некоторым упражнениям:
№ 215. Постройте график функции:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания, а также наибольшее (или наименьшее) значение.
Указание. Полезно вначале изобразить график схематически. (В дальнейшем учащиеся будут делать это мысленно, что является очень важным умением, «организующим» деятельность по построению графика и предупреждающим ошибки.)
№ 219. Из приведенного списка функций
; 
; 
; 
; 
; 
.выберите те, которые:
а) принимают только положительные значения (укажите наименьшее значение функции);
б) принимают только отрицательные значения (укажите наибольшее значение функции).
Указание. Упражнение следует выполнять, опираясь на схематический график.
№ 233. Параболу у = х2сдвинули на несколько единиц вдоль оси х так, что она прошла через точку М. Запишите формулу, соответствующую новой параболе, если точка М имеет координаты:
а) х = 0, у = 4;
б)
, у = 4.Сколько решений имеет задача в каждом случае?
Указание. Так как новая парабола получена в результате сдвига вдоль оси х параболы у = х2, то она может быть задана формулой вида у =(х + р)2. Подставив в эту формулу координаты точки М и решив получившееся уравнение, найдем значение р. В каждом случае задача имеет два решения. Результат полезно проиллюстрировать, построив соответствующие графики.
№ 238. В одной системе координат постройте графики функций:
а) 
,
, 
;б)
, 
, 
;в)
, 
, 
.Указание. Предполагается, что учащиеся увидят возможность построения графиков путем сдвига исходного графика вдоль осей координат.
В результате изучения этого пункта учащиеся должны знать, с помощью каких сдвигов вдоль координатных осей из графика функции у = ах2 можно получить параболу, задаваемую уравнениями
, 
, 
, уметь в конкретных случаях строить эти параболы или изображать их схематически (отметив вершину, проведя ось симметрии, показав направление ветвей).В четвёртом пункте «График функции
» завершается знакомство с квадратичной функцией.Здесь рассматривается алгоритм построения графика функции
. Утверждается, что график данной функции можно получить из графика функции 
с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Что доказывается с помощью представления функции 
в виде 
(на основе конкретного примера).Далее делаются выводы о том, что график функции
– это такая же парабола, что и парабола 
, у неё то же направление ветвей, вершиной параболы 
служит точка с координатами 
и 
, а осью симметрии – вертикальная прямая .