Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов на примере учебников по алгебре под ред (стр. 10 из 16)
б) Достаточно показать, что дискриминант трехчлена
отрицателен.Во втором пункте «График и свойства функции
», как и в предыдущем, ставятся две цели: знакомство с частным случаем квадратичной функции у=ах2 и развитие представлений об общих свойствах функций.Сначала рассматривается случай
. Отдельно выделен случай 
и делается замечание, что с этой функцией учащиеся уже встречались ( 
). Далее строятся два графика функций 
и 
. Затем делается замечание, что у этих парабол ветви направлены вверх, вершиной служит начало координат, а ось симметрии – ось ординат и оговаривается, что такими свойствами обладает график любой квадратичной функции при а > 0.После чего учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены три графика функций
, 
, 
и оценивается «крутизна» этих графиков. Затем рассматривается функция 
при а < 0 и строится график функции 
. Сравнивая графики функций и делается вывод о том, что график второй функции можно получить из графика первой функции симметрией относительно оси абсцисс. Далее снова в одной системе координат построены графики 
, 
, 
и обращается внимание, что ветви любой параболы при а < 0 направлены вниз. Затем делается вывод: графиком функции 
, где а ≠ 0, является парабола с вершиной в начале координат; её осью симметрии служит ось ординат; при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 ветви направлены вниз.Теоретическая часть пункта завершается рассмотрением свойств функции у = ах2 для случая а > 0. Свойства «считываются» с графика, фактически они получаются в результате перевода геометрических фактов на «язык функций». Это хорошо видно из таблицы, помещенной на с.92 учебника [34]:
| Особенности графика | Свойства функции |
| 1. График касается оси абсцисс в начале координат: точка О(0;0) – нижняя точка графика | 1. При х = 0 функция принимает наименьшее значение, равное 0 |
| 2. Ветви параболы неограниченно уходят вверх; они пересекают любую горизонтальную прямую, расположенную выше оси х | 2. Любое неотрицательное число является значением функции. Область значений функции – промежуток  |
| 3. График симметричен относительно оси у | 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции |
4. На промежутке  график идет вниз; на промежутке  график идёт вверх | 4. На промежутке функция убывает; на промежутке функция возрастает |
Хотелось бы отметить, что схема для чтения свойств функции (предложенная в методике изучения функций) реализована в данной таблице.
Для квадратичной функции
при а < 0 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать свойства.Система упражнений.
Большая часть упражнений – это задания на построение графиков функций вида
. Каждое из упражнений сопровождается серией вопросов, среди которых есть задания на определение принадлежности точки графику, наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, на вычисление координат точек пересечения графика с некоторой горизонтальной прямой, на определение промежутков возрастания и убывания функции и др. Полезным с точки зрения усвоения теоретических вопросов является упражнение на соотнесение формул и графиков. Кроме того, есть упражнения на построение графиков кусочно-заданных функций, в которых участвуют функции вида . Строить графики функций, заданных на разных промежутках разными формулами, учащимся приходилось и в 7, и в 8 классе.Комментарии к некоторым упражнениям:
№ 202. Постройте график функции:
а)
б)
в)
Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания.
Указание. Учащиеся допускают меньше ошибок, если действуют следующим образом: сначала строят график первой функции на всей области определения, вычерчивая его тонкой линией, и затем обводят жирно ту часть, которая соответствует указанному промежутку. Затем точно так же тонкой линией вычерчивают график второй функции и жирно обводят нужную его часть.
№ 203. Известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида
, проходит через точку С (–6; –9).а) Укажите ординаты точки графика, которая симметрична точке С.
б) Найдите коэффициент а.
в) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая – нет.
Указание. Можно схематически изобразить параболу
, проходящую через точку С(–6; –9), показать точку параболы, симметричную точке С, проведя соответствующую горизонталь.№ 205. Укажите координаты какой-либо точки графика функции
, расположенной:а) выше прямой у = 1000;
в) выше прямой у = 1200 и ниже прямой у = 1500.
Указание. Требование задачи нужно перевести на алгебраический язык. Так, если точка должна быть расположена выше прямой у = 1000, то это означает, что должно выполняться неравенство у > 1000. Далее задачу можно решить простым подбором.
№ 209. В одной системе координат постройте графики функций:
а)
и 
;б) 
и
;в) 
и 
;
г)
и 
.Указание. Идея упражнения состоит в том, чтобы учащиеся самостоятельно обобщили знания о симметрии графиков таких функций как, например, у = 2х2 и у = –2х2, и применили их в новой ситуации. В каждом случае следует строить график первой функции и с помощью симметрии относительно оси х получать график второй функции. Можно сформулировать и записать общее утверждение: графики функций у = f(x) и у = –f(x) симметричны относительно оси х. В самом деле, при любом х из области определения функций их значения – противоположные числа. Значит, каждой точке графика функции y = f(x) соответствует симметричная ей относительно оси х точка графика 
, и наоборот.
№ 211. (Задача-исследование.)
1) Постройте параболу
.2) В этой же системе координат проведите прямую d, уравнение которой у = –1, и отметьте точку F(0; 1).