б) Достаточно показать, что дискриминант трехчлена
Во втором пункте «График и свойства функции
Сначала рассматривается случай
После чего учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены три графика функций
Теоретическая часть пункта завершается рассмотрением свойств функции у = ах2 для случая а > 0. Свойства «считываются» с графика, фактически они получаются в результате перевода геометрических фактов на «язык функций». Это хорошо видно из таблицы, помещенной на с.92 учебника [34]:
Особенности графика | Свойства функции |
1. График касается оси абсцисс в начале координат: точка О(0;0) – нижняя точка графика | 1. При х = 0 функция принимает наименьшее значение, равное 0 |
2. Ветви параболы неограниченно уходят вверх; они пересекают любую горизонтальную прямую, расположенную выше оси х | 2. Любое неотрицательное число является значением функции. Область значений функции – промежуток |
3. График симметричен относительно оси у | 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции |
4. На промежутке | 4. На промежутке |
Хотелось бы отметить, что схема для чтения свойств функции (предложенная в методике изучения функций) реализована в данной таблице.
Для квадратичной функции
Система упражнений.
Большая часть упражнений – это задания на построение графиков функций вида
Комментарии к некоторым упражнениям:
№ 202. Постройте график функции:
а)
б)
в)
Для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания.
Указание. Учащиеся допускают меньше ошибок, если действуют следующим образом: сначала строят график первой функции на всей области определения, вычерчивая его тонкой линией, и затем обводят жирно ту часть, которая соответствует указанному промежутку. Затем точно так же тонкой линией вычерчивают график второй функции и жирно обводят нужную его часть.
№ 203. Известно, что график квадратичной функции, заданной формулой вида
а) Укажите ординаты точки графика, которая симметрична точке С.
б) Найдите коэффициент а.
в) Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит графику, а другая – нет.
Указание. Можно схематически изобразить параболу
№ 205. Укажите координаты какой-либо точки графика функции
а) выше прямой у = 1000;
в) выше прямой у = 1200 и ниже прямой у = 1500.
Указание. Требование задачи нужно перевести на алгебраический язык. Так, если точка должна быть расположена выше прямой у = 1000, то это означает, что должно выполняться неравенство у > 1000. Далее задачу можно решить простым подбором.
№ 209. В одной системе координат постройте графики функций:
а)
б) и
в) и
;
г)
Указание. Идея упражнения состоит в том, чтобы учащиеся самостоятельно обобщили знания о симметрии графиков таких функций как, например, у = 2х2 и у = –2х2, и применили их в новой ситуации. В каждом случае следует строить график первой функции и с помощью симметрии относительно оси х получать график второй функции. Можно сформулировать и записать общее утверждение: графики функций у = f(x) и у = –f(x) симметричны относительно оси х. В самом деле, при любом х из области определения функций их значения – противоположные числа. Значит, каждой точке графика функции y = f(x) соответствует симметричная ей относительно оси х точка графика , и наоборот.
№ 211. (Задача-исследование.)
1) Постройте параболу
2) В этой же системе координат проведите прямую d, уравнение которой у = –1, и отметьте точку F(0; 1).