Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике 2 (стр. 9 из 13)

В системе можно решить только одно уравнение, а второе проверить подстановкой получившихся корней.

Утверждение 2. Если области изменения функций, входящих в уравнение (неравенство), не имеют общих точек, то уравнение (неравенство) решений не имеет.

Существует несколько способов определения множества значений функций. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Найти область изменения функции

.

Для решения задачи построим схему графика с помощью производной:

1) область определения функции y промежуток

;

2) с помощью производной найдем экстремумы. В точке

функция принимает свое максимальное значение;

3) найдем значения функции в точке максимума и на концах отрезка области определения:

; ; .

4) таким образом, получаем

.

Пример 2. Найти область изменения функции

.

Преобразуем функцию к виду

.

Область изменения этой функции находится непосредственно:

.

Для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций удобно пользоваться следующим фактом.

Утверждение 3. Функция вида

изменяется на отрезке

Пример 3. Найти область изменения функции

.

Введем замену

и рассмотрим функцию ,

. Ее область изменения с помощью производной найти гораздо проще. .

Рассмотрим на примере, как при решении уравнений знание области изменения функций, в него входящих, упрощает поиски корней.

Пример 3. Решить уравнение

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения,

. Найдем их множество значений . Воспользуемся утверждением 1: так как множества значений имеет общую точку 2, от уравнения можно перейти к системе . Решением системы, а, значит, и исходного уравнения является .

Утверждение 4. Пусть дано неравенство

. Если множества значений этих функций имеют общую точку ; , то неравенство равносильно системе .

Пример 4. Решить неравенство

.

ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме -1. Разобьем ОДЗ на три промежутка

и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. На первом и третьем промежутках неравенство выполняется для любого x: ( ); ( ); ( ). Следовательно, оба промежутка являются решением неравенства. На втором промежутке , то есть неравенство решений не имеет. Исходя из этого получаем решением неравенства .

3. Постановка домашнего задания.

1) Выучить теоретический материал.

2) Найти множество значений функций:

а)

; б) .

3) Решить уравнение

.

Занятие №6 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Цель: закрепить знания по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Ход занятия:

1. Проверка домашнего задания. До начала занятия один из учеников записывает домашнее задание на доске учитель и другие ученики проверяют решение.

2. Решение задач. На доске написан список задач. Учащиеся по одному решают у доски. Учитель напоминает, что данные уравнения и неравенства решаются с использованием множества значений функций, в них входящих.

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

3. Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы за занятие: 1 балл за решение домашнего задания, по одному баллу за решение задач у доски

4. Постановка домашнего задания

Решить уравнения и неравенство:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

Занятие №7 Тема: «Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство».

Цели: познакомить учащихся с приемом решения уравнений и неравенств, состоящих из неотрицательных функций.

Ход занятия:

1. Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Уравнение, вызвавшее трудности, разбирается учеником, выполнившим его.

2. Изучение нового материала.

Утверждение 1. Пусть имеется уравнение

. Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то уравнение равносильно системе .

‑Назовите функции, которые принимают неотрицательные значения на всей области определения (

).

Пример1. Решить уравнение

.

Преобразуем уравнение

. Наше уравнение будет равносильно системе , которая не имеет решений. Значит и исходное уравнение решений не имеет.

Аналогичное утверждение можно сформулировать и для неравенств.