Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике 2 (стр. 8 из 13)

4) Учитель делает вывод, что для того, чтобы найти ОДЗ переменной данного уравнения, необходимо найти область определения функций, в него входящих, и посмотреть при каких x одновременно имеют смысл выражения, стоящие в левой и правой частях.

2. Изучение нового материала.

1) Рассмотрим пример:

. Найдем корни этого уравнения. Заметим, что если уравнение имеет решения, то они содержатся только в области определения уравнения. А ОДЗ мы уже нашли {-2;2}. Осталось подставить эти значения в уравнение. Ответ: 2.

2) Рассмотрим на примере, как знание области определения помогает найти решение неравенства:

ОДЗ неравенства есть все x, удовлетворяющие условию

. Для всех x из этого промежутка имеем , а . Следовательно, решением этого неравенства является промежуток .

3. Решение задач. Учащиеся самостоятельно решают в тетради. Ответы проверяются и фиксируются на доске учителем. Задания, вызвавшие затруднения, разбираются учителем или одним из учеников на доске.

Решите уравнение или неравенство (список задач написан на доске):

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

.

4. Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы за работу на занятии. Если решены первые четыре задания – 1 балл, за задания 5-8 по одному баллу. Всего за урок можно получить 5 баллов.

5. Постановка домашнего задания.

1) Решите уравнение

.

Решите уравнение

.

Решите неравенство

.

Подготовить доклады на тему «Способы доказательства возрастания (убывания) функций» (по определению, с помощью производной) и «Как монотонность помогает решать уравнения и неравенства» (сформулировать теоремы о корне, 1 доказать). Это задание выполняют два ученика по желанию.

Занятие №3 Тема: «Использование монотонности функций»

Цели:

а) познакомить учащихся с методом решения уравнений и неравенств, основанном на применении монотонности функций;

б) обобщить и систематизировать знания учащихся о монотонности функций, способах исследования функции на монотонность.

Ход занятия:

1. Проверка домашнего задания. Решение первого задания учитель разбирает устно, ученики проверяют в тетради. Решение 2-ого и 3-его один ученик выписывает на доску до начала занятия. Школьники сверяют со своим решением, учитель комментирует решение.

2. Изучение нового материала.

1) Доклад «Способы доказательства возрастания (убывания) функций».

2) Доклад «Как монотонность помогает решать уравнения и неравенства».

3) Учитель делает выводы по докладам.

3. Решение задач. Список задач написан на доске. 1-ое задание разбирается учителем. На остальные дается время для самостоятельного решения. После ученики по желанию показывают свое решение на доске.

Решите уравнение или неравенство:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

.

4. Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы за работу на занятии. По одному баллу за доклад, по одному баллу за каждую задачу, решенную у доски.

5. Постановка домашнего задания.

1)

;

2)

;

3)

4)

.

Занятие №4 Тема: «Уравнения вида

.»

Цель: систематизировать и обобщить знания о методе решения уравнений вида

.

Ход занятия:

1. Организационный момент. Постановка целей занятия, темы и плана его проведения.

2. Проверка домашнего задания. Решение каждой задачи с места объясняют ученики. Если нужно, учитель корректирует и комментирует ответы учеников.

3. Решение задач. Решение первой задачи учитель подробно разбирает на доске.

1)

.

В обеих частях уравнения стоят функции, похожие внешне. Поэтому имеет смысл рассмотреть функцию

.

‑ Назовите область определения этой функции (R).

‑ Исследуйте функцию на монотонность (убывает на R).

Если выполняются эти условия, то исходное уравнение равносильно уравнению

. Найдем корни этого уравнения, они будут корнями исходного уравнения.

2)

. В этом задании следует обратить внимание учеников на то, что функция

определена не на всей числовой прямой, поэтому уравнение равносильно системе ;

3)

;

4)

;

5)

.

4. Подведение итогов занятия.

Учащимся, решившим верно все задания, за урок ставится 3 балла.

5. Постановка домашнего задания.

1) Повторить теоретический материал, связанный с понятием области изменения функции.

2) Решить уравнения:

;

;

;

.

6. Проверочная работа.

Вариант №1

1)

;

2)

;

3)

.

Вариант №2

1)

;

2)

;

.

Критерии оценивания:

«5» - верно выполнены все задания;

«4» - верно выполнены любые два задания;

«3» - верно выполнено любое одно задание.

Занятие №5 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Цели:

а) изучить теоретический материал по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений»;

б) познакомить с основными способами определения множества значений функции.

Ход занятия:

1. Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Если у большинства учащихся есть затруднения в решении, то задание разбирается на доске. Если задание вызвало затруднение у небольшой группы учащихся, то к каждому из них «приставляется» ученик, выполнивший задание, с целью объяснить решение.

2. Лекция по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».

Утверждение 1. Пусть дано уравнение

, причем функции как правило разнородные. Если множества значений этих функций имеют общую точку (или небольшое конечное число общих точек) ; , то уравнение равносильно системе .