Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики (стр. 9 из 15)

В §36 предлагается рассмотреть функциюy=x², т.е. квадратичную функциюy=ax²+bx+c при, а=1, b=0, с=0.

Для построения функции составляется таблица, а затем точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются. График функции y=x²называется параболой.

После чего выясняются некоторые свойства функции y=x².

В §37 учащимся предлагается построить график функции y=ax². Сравнивается графики функций y=ax² и y=x². Говорят, что график функции y=аx²получается растяжением графика функции y=x² от оси Ох вдоль оси Оу в а раз.

Рассматриваются свойства функции y=ax², где а¹0

1) если а>0, то функция y=ax² принимает положительные значения при х¹0;

если а<0, то функция y=ax² принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Парабола y=ax² симметрична относительно оси ординат;

3) Если а>0, то функция y=ax² возрастает при х³0 убывает и при х£0;

Если а<0, то функция y=ax² убывает при х³0 и возрастает при х£0.

В §38 автор предлагает построить график квадратичной функции. Для этого предлагается использовать метод выделения полного квадрата (получили у=(х+т)²+п), а затем сравнить полученный график с графиком функции у=х². Делается вывод что мы получаем параболу сдвинутую на т единиц по оси Ох и на п единиц по оси Оу.

В §39 приводится алгоритм построения графика любой квадратичной функции y=ax²+bx+c:

1. Построить вершину параболы (х₀, у₀), вычислив х₀, у₀ по формулам

.

2. Провести через вершину параболы прямую параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.

3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

4. Построить две какие-то точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси, симметричные относительно точки х₀(х₀¹0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х₀ (ординаты этих точек равны с)

5. Провести через построенные точки параболу.

При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и решение задач с их применением не входит в число обязательных.

В заключении, учащимся предоставляется возможность еще раз повторить решение систем двух уравнений, одно из которых первой, а другое второй степени.

В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. с функцией y=x² учащиеся впервые сталкиваются в 7 классе.Все сведения рассматриваются в этом параграфе аналогично учебнику Ш.А. Алимова за 8 класс.

Дальнейшее же знакомство с квадратичной функцией происходит только в 9 классе.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c, где х – независимая переменная, а, b и с – некоторые числа, причем, а¹0 - так начинается §3 в данном учебнике.

Изучение квадратичной функции начинают с частного случая – функции y=ax².

При а=1 формула y=ax² принимает вид y=x². С этой формулой учащиеся уже встречались в 7 классе. В отличии от учебника Ш. А. Алимова формулируется 5 свойств. Добавляется свойство, что график функции проходит через начало координат, и свойство о наибольшем и наименьшем значении.

В следующем пункте рассматриваются графики функции у=ах²+п и у=а(х-т)². Учащимся предлагается выяснить, что представляют собой графики данных функций.

И наконец в последнем пункте данной темы рассматривется построение графика квадратичной функции. Здесь предлагается алгоритм построения квадратичной функции, состоящий из трех пунктов:

1) Найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2) Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3) Соединить отмеченные точки плавной линией.

В учебнике Мордковича функция y=x² вводится в седьмом классе:

во–первых, для того чтобы школьник, целый год изучавший курс алгебры, не закончил год с убеждением, что в природе существуют только линейные функции; надо приоткрыть двери в дальнейшие разделы математики;

во–вторых, эта функция помогает более глубокому изучению линейной функции.

В результате в 7 классе учащиеся знакомятся с графиком и свойствами функции y=x², учатся графически решать уравнения.

Дальнейшее знакомство с данной функцией происходит в 8 классе. Так, в §12 приведены два алгоритма построения графика функции у=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x).

В §13, где идет речь о построении графика квадратичной функции, делается акцент не на отыскании координат вершины параболы, служащей графиком функции y=ax²+bx+c, а на отыскании уравнения оси симметрии параболы

. Во – первых, построение оси параболы само по себе значимо с геометрической точки зрения: наличие оси параболы дает учащимся возможность найти одну- две пары симметричных относительно оси точек параболы, которые используются как контрольные точки для более точного эскиза графика. Во – вторых, зная уравнение оси х=х₀, ученик сможет найти ординату вершины параболы по формуле у₀=f(х₀), более важной, не мой взгляд, для понимания сути дела, чем требующая специального запоминания формула .

§2.3. Обратная пропорциональность.

В учебниках Алимова функция у=

вводится только в 9 классе. § 15 начинается с задачи: построить график функции у=

. Построение осуществляется с помощью свойств функции. После данной задачи, говорится что у=

- гипербола.

Во второй задаче предлагается построить график функции у=

, при k=2 и k=-2. Данная задача позволяет сравнить графики функций обратной пропорциональности с разными знаками. В результате дается определение гиперболы в общем случае и даются ее свойства.

В конце параграфа приводится пример из жизни, где встречается данная функция. Говорится, что функция у=

при k>0 выражает обратную пропорциональную зависимость между х и у. Такая зависимость между величинами часто встречается в физике, технике и т.д.

Например, при равномерном движении по окружности с постоянной скоростью v тело движется с центростремительным ускорением а, равным

, где r – радиус окружности, т.е. в этом случае ускорение обратно пропорционально радиусу окружности.

Учащимся предстоит овладеть такими свойствами, как область определения, четность и нечетность функции, возрастание и убывание функции на промежутке.

В учебнике Макарычева данная функция вводится в 8 классе. На изучение данной функции отводится только § 8 из третьей главы. Параграф начинается с примера о площади прямоугольника, благодаря чему учащихся подводят к определению обратной пропорциональности. Далее приводится пример построения графика функции при k>0. Обращается внимание на то, что при х=0 выражение

смысла не имеет. Затем для сравнения строится второй график при k отрицательном. И в конце параграфа дается определение графика обратной функции.

В учебниках мордковича обратная функция изучается в 8 классе вместе с функцией y=x². И вводится точно так же как в учебнике Макарычева.

§2.4. Степенная функция.

В учебниках Алимова со степенной функцией ученики встречаются в 9 классе.

С функциями у=х и у=х² учащиеся познакомились, и им объясняется что эти функции – частный случай степенной функции у=х^r, где r –заданное число (причем как целое, так и дробное). После чего формулируются свойства данной функции в зависимости r, которое может быть как положительным, так и отрицательным.

В учебниках Макарычева с функцией у=х^r учащиеся сталкиваются тоже только в 9 классе, В §22 рассматривается только натуральный показатель. При формулировке свойств, берется два случая, когда показатель степени четный и когда нечетный.

С дробным показателем рассматривается единственная функция в 8 классе у=

. Вводится она на примере площади, что для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны. Зависимость стороны квадрата от его площади выражается формулой а= . Далее строится график данной функции, с помощью таблицы. И в конце параграфа формулируются некоторые свойства функции.