Как известно, математика превратилась в дедуктивную науку в Древней Греции, где ее развитие протекало в сотрудничестве с философией. Уже в VI в. до н. э. греческие философы разрабатывали проблему бесконечности и связанную с ней проблему непрерывного и дискретного. Этими проблемами занимались представители милетской школы Анаксимандр (около 610—546 гг. до н. э.) в своем произведении «Апейрон» («Беспредельное»), Анаксимен (около 588гг. до н. э.) в сочинении «О природе». Такое же заглавие выбрал для одного из своих сочинений Анаксагор (около 500—428 гг. до н. э.), в котором он понятие бесконечности положил в основу своего мировоззрения. Анаксагор писал: «Среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно». Эту мысль он дополнил, написав, что «всегда имеется нечто большее, чем то, что большое». Вот почему историки математики считают, что Анаксагор впервые ввел в математику понятие потенциально бесконечно малого и бесконечно большого, а это оказалось весьма существенным для дальнейшего развития математики. Но если Анаксагор и другие математики приписывали пространству только непрерывные свойства, то другие ученые создали представление о пространстве как о множестве точек, являющихся неделимыми элементами. Последняя концепция отвечала, в частности, духу школы Пифагора, в которой развивалось учение о дискретных (т. е. прерывных) объектах, а именно о числах. Пифагорейцы долгое время считали возможным распространить свое учение о целочисленной основе всего существующего и на геометрические величины. Открытие несоизмеримости, которое явно показало различие между дискретной природой (рациональных) чисел и непрерывной природой геометрических величин, привело, как известно, к большим трудностям, связанным с понятием бесконечности, к настоящему кризису в обосновании математики.
С точки зрения диалектического материализма в объективном реальном мире дискретное и непрерывное, движение и покой находятся в диалектическом единстве. Но нельзя отобразить движение, не остановив его, т.е. не прибегая к покою — его противоположности.
В настоящее время в основе изучения геометрии и математического анализа лежит понятие о вещественном числе. Множество вещественных чисел, как и множество точек прямой, обладает свойством непрерывности. Вещественным числом можно выразить отношение двух любых однородных величин. Однако, как известно, расширение понятия числа до вещественного и обоснование соответствующей теории были завершены только в XIX в.. Греки же, которые при открытии несоизмеримости имели представление лишь о дискретном множестве чисел (натуральных и в лучшем случае положительных рациональных), пошли в V—VI вв. по пути геометризации арифметики и строили общую теорию отношений, аналогичную нашей теории вещественных чисел, применяя ее к учению о подобии, к вопросам измерения площадей и объемов и вообще к исследованию непрерывных величин.
Изложим вкратце суть евдоксовой общей теории отношений (величин), содержащейся в V книге «Начал» Евклида (конец IV – III в. до н. э.). Величины здесь изображены отрезками, причем предполагается, что для любой пары величин найдется соответствующая пара отрезков а, bтак, что отношение величин будет равно отношению отрезков а:b. В самом начале V книги вводится так называемая аксиома Архимеда, которую правильнее было бы называть аксиомой Евдокса (около 408 - около 355 до н. э.), или аксиомой Евдокса — Архимеда. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома которая является одной из аксиом непрерывности.
Равенство отношений определяется следующим образом: величины А, В имеют то же отношение, что и величины С,D,если для любой пары натуральных чисел тип выполняется какое-либо из следующих трех условий:
1) тА<пВ и тС<пD;
2) тА = пВ и тС = пD;
3) тА>пВ и тC>пD.
Современной операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений А:В и В:С — значит найти отношение А:С, «составленное». Чтобы составить произвольные два отношения а:bи с:d,требуется предварительно найти отношение b:x,равное с:d,что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам с,d,bчетвертого пропорционального отрезка x. В V книге устанавливаются основные свойства отношений и их составления. Вышеприведенное определение отношений было, вероятно, подсказано Евдоксу как свойствами отношений соизмеримых величин, так и рассмотрением процесса измерения непрерывных геометрических величин. Целесообразность этого определения, конечно, можно проверить на разных примерах. О том, что некоторые математики неправильно его понимали, свидетельствует случай с французским ученым XVI в. П. Рамусом. Последний, возражавший против определения равенства отношений Евдокса, ссылался на следующий пример. Для чисел 4; 3 и 5; 4, т=6, п=9 имеет место неравенство
6·4<9·3 и 6·5<9·4,
но вместе с этим отношение 4:3 не равно отношению 5:4. Рамус не учел, что речь идет не об определенной одной паре или о конечном числе пар натуральных чисел т, п, а о произвольной паре. Достаточно в данном случае взять т=6, п=8, чтобы получить:
6·4=8·3,
в то время как 6·5<8·4.
Именно тот факт, что равенство отношений определяется Евдоксом с помощью бесконечного множества неравенств типа 1) или 3), вызывал много трудностей для понимания его теории, предвосхитившей теорию вещественных чисел Дедекинда (1831-1916). И метод исчерпывания Евдокса основывается на идее неограниченного приближения к некоторой величине с помощью последовательности неограниченного числа значений других величин и на основе безграничного деления любой величины на части, меньшие любых наперед заданных величин, т. е. в конечном итоге на идее потенциальной бесконечности, на которой базируется и метод пределов, которым пользуемся и мы. С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и высотой и другие предложения.
В итоге можно сказать, что идея бесконечности возникла и применялась в древнегреческой математике главным образом в связи с развитием арифметики и теории чисел (натуральный ряд, бесконечное множество простых чисел и др.), с открытием несоизмеримости и с вопросами измерения и исследования свойств геометрических фигур, рассматриваемых как непрерывные.
Понятие бесконечности развивалось в математике в тесной связи с решением конкретных математических задач и соответствующей разработкой математических методов (общая теория отношений, квадратура круга, метод исчерпывания и др.).
Широко использовал бесконечность в своих исследованиях и Архимед.
§1.2. История развития понятия функции.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5 тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.)
Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a,b,c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон (1643-1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»).