Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики (стр. 14 из 15)

Кроме того, отмечены точки A и В, в которых графики функций у₁ и у₂ пересекаются, т. е. у=у₁-y₂=0; эти точки снесены на ось абсцисс.

15. y=

—a^x при а>1 (рис. 45).

Вспомогательные графики: y₁=

и у₂=-а^х. От точек кривой у₂=-а^х отложены ординаты у₁= .

Рис. 44.

16. у=а^х+а^-х при а>1 (черт. 194). Вспомогательные графики: у₁=а^х и у₂=а^-х.

График заданной функции строится сложением ординат вспомогательных графиков: у=у₁+у₂.

Рис. 45. Рис. 46.

При x=0 заданная функция имеет минимум: y_min=a⁰+a^-0= 1+1=2.

Найдем минимум данной функции.

Обозначим a^x +a^-x=k. (a)

Заметим, что:

1)область существования заданной функции: (-

; ), т. е. функция существует на всей числовой оси х-ов;

2)а^х>0 и а^-x>0 и, следовательно, k>0.

Преобразуем равенство (а):

a^x+

=k,

(б)

Так как а^х ≠0, то равенство (б) равносильно равенству: a^2x+1=a^xk, откуда получаем:

а^2x-ka^x+1=0. (в)

Решаем уравнение (в) относительно а^х:

(г)

Видим, что а^х имеет действительное значение при

≥1, или k²≥4, т. е. |k|≥2.

А так как k>0, то |k|=k и, следовательно, k≥2. Таким образом, k_min=2, т. е.

(a^x +a^-x)_min=2.

Подставляя в равенство (г) значение k_min, находим, что

Рис. 47

т.е. х=0.

17. y=log_acosх+cosx (Рис. 47), где а>1.

Так как заданная функция периодическая, с периодом 2p, то построение проведено для одного периода: -

.

Вспомогательные функции: y₁=cosx и y₂=log_acosx.

Функция y₁=cosx является внутренней для функции y₂=log_acosx, что учитывается при построении второго графика.

Граничные значения:

при х®(-

) и х

y₁=cosx®0 и y₂=log_acosх®-∞; следовательно, у®-∞.

Характерная точка:

при х=0 у₁=соsx=1; y₂=log_al=0; у=1, точка (0; 1).

При

функция не определена, так как cosх≤0, и вспомогательная функция y₂=logcosx не существует.

Рис. 48.

18. y=tgх+log_atgх (рис. 48), где а>1.

Строится аналогично предыдущему графику.

Построение проведено, для одного периода (p): 0<х<p.

При

функция не существует.

19. у=х+

(рис. 49).

Функция нечетная, так как

.

Построение графика проведено для х>0.

Вспомогательные графики: у₁=х и у₂=

.

Прямая у₁=х является асимптотой искомого графика.

Кроме того, при х>0 функция имеет минимум, который для функций данного вида может быть определен следующим образом.

Рис. 49.

Возьмем функцию в общем виде: у=х+

при x>0.

Так как среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического этих чисел или ему равно, то

Минимальное значение суммы

имеет место при условии, что =2 ; откуда получаем:

; ;

x=

и

Для заданной функции, следовательно, имеем:

при х= = .

Левая ветвь графика косо симметрична правой.

20. у=х-

(рис. 50).

Рис. 50.

Функция нечетная. Построение проведено для х>0.

Вспомогательные функции: у₁=х и у₂=-

.

Ординаты искомого графика получаются алгебраическим сложением ординат у₁ и у₂. Так как ординаты графика у₂ отрицательны, то они откладываются вниз от графика у₁.

Прямая у₁=х является асимптотой для искомого графика, причем правая ветвь графика приближается к этой асимптоте снизу Кроме того, имеем:

1)при х®0 у=х-

®-∞;

2)при х=1 у₁=1; -у₂=-1; у=у₁ - у₂=0.

21. y=sinx+cosx (рис. 51).

Рис. 51.

Преобразуем заданную функцию:

.

Строим график преобразованной функции:

.

22. y=cosx-sinx(рис. 52)

Рис. 52.

Аналогично предыдущему преобразуем данную функцию:

и строим график функции:

.

§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций

Произведение и частное двух функций поддаются общему исследованию, на основании которого и может быть построен график.

Часто построение графика упрощается, если предварительно построить вспомогательные графики функций, входящих в произведение или частное.

Иногда произведение или частное возможно преобразовать так, что построение графика преобразованной функции оказывается проще.

Эти и некоторые другие приемы построения графиков произведения и частного двух функций иллюстрируются следующими примерами.

1. y=xsinx (Рис. 53).

Рис. 53.

Строятся (штриховыми линиями) вспомогательные графики функций, входящих в заданное произведение: у₁=х; y₂=sinx.

Перемножение этих графиков упрощается благодаря тому, что функция y₂=sinx периодически принимает значения 0 и 1. В первом случае искомый график y=xsinx пересекает ось абсцисс, во втором - касается вспомогательной прямой у₁=х.

Так как функция y₂=sinx периодически принимает еще значение
(-1), то построение облегчается, если построить еще одну вспомогательную прямую: у₃=-х (на рисунке эта прямая построена штрих-пунктирной линией).