Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики (стр. 12 из 15)

Рис 19 Рис 20

Например, для построения графика функции y=f(x+3)вертикальная ось графика функции f(x)сдвигается на 3 единицы вправо, т. е. на (+3); для построения графика функции y=f(x-3) вертикальная ось сдвигается на 3 единицы влево, т. е. на (-3).

Примечание. 1. Необходимо иметь в виду, что сдвиг оси у-овнадо производить на величину «добавка» к положительному значению аргумента х, так что если задана функция y = f(-х+а), то ее надо сначала преобразовать в функцию y=f[-(х-а)] и принять за исходную функцию
f(-х), а затем сдвинуть ось у-ов на (-а), т. е. на добавок к (+x).

Пример. у=(-х+1)².

Преобразуем: у=[-(x-l)]²=(x-1)².

Приняв за исходную функцию у=х², как и при построении графика функции у=(х+1)²(рис. 19), сдвигаем ось у-ов на (-1), т. е. на добавок к (+х)(рис. 21), а не на (+1), как на рисунке 19.

Для построения графика функции у=(-х+1)³ следует, преобразовав ее в функцию у=[-(х-1)]³, принять за исходный график заданной функции у=(-х)³=-х³ и сдвинуть ось у-овна (-1).

Примечание 2. Если требуется построить график функции у=f(x+а)+b (рис. 22), то сначала строится график функции у=f(х), причем обе оси наносятся штриховыми линиями. Затем горизонтальная ось сдвигается на (-b), т.е. в сторону, обратную знаку добавка к функции, вертикальная ось сдвигается на (+а), т.е. в сторону знака добавка к аргументу.

Если имеется добавок только к функции или только к аргументу, то при построении исходного графика можно также обе оси координат нанести штриховыми линиями; затем одну из них сдвинуть, а другую обвести сплошной линией.

Рис. 21. Рис. 22.

§ 3.2. Растяжение и сжатие графика.

п.3.2.1. По оси х-ов.

Этот прием чаще применяется при построении графиков тригонометрических функций. Поэтому разберем его на двух примерах графиков тригонометрических функций.

1-й пример (на растяжение).

y=sin

х

Общий метод построения графика:

1)область существования - вся числовая ось;

2)область изменения функции: -1£у£1;

3)функция нечетная, периодическая; период функции найдем из равенства

sin

=sin( +2p)=sin( ); w=4p.

Следовательно, достаточно построить часть графика для половины периода 0£х£2p;

4) характерные точки:

а) при у=0 sin

х=0, откуда х=

, или х=

, т.е. кривая пересекает ось х-овв точках (0; 0) и (2p; 0);

б) максимум функции равен 1 при

х= , т.е. при х=p.

По этим данным на рисунке 23 построен график заданной функции; сначала график строился для положительного полупериода (утолщенная часть графика), затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду, построена косо симметричная кривая (тонкая линия) и, наконец, на остальном протяжении кривая изображена штриховой линией.

График функции y=

sinx можно построить проще, приняв за исходный известный нам график функции y=sinx, нанесенный штриховой

линией на рисунке 24. Замечаем, что период исходной функции y=sinxw₀=2p, а период заданной функции y=sin x w=4p,

Рис. 23

т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график, который требуется построить, получится из исходного графика (штрихового, на рисунке 24) путем растяжения его по оси х-ов вдвое.

Рис. 24

2-й пример (на сжатие).

y=sin3x.

Общий метод построения графика тот же, что и в примере первом:

1-й и 2-й пункты исследования те же;

3) период функции находится из равенства

sin3x=sin(3x+2p)=sin3(x+

),

откуда период w=

, полупериод

;

4) характерные точки:

а) при у=0 sin3x=0, откуда 3х=

, х= , т. е. кривая пересекает ось
х-ов в точках (0; 0) и ( ; 0);

б) максимум функции равен 1 при 3х=

, т.е. при х= .

По этим данным график построен на рисунке 25 в той же последовательности, как и предыдущий график.

Рис. 25.

График функции у=sin3x проще построить методом сжатия по ocи x-ов исходного графика y=sinx в 3 раза (рис. 26), так как период

; заданной функции в 3 раза меньше периода 2p исходной функции.

Рис. 26.

Таким образом, график функции y=f(nx), если известен график функции y=f(x), с строится посредством сжатия по оси х-ов этого исходного графика пропорционально коэффициенту п при аргументе, а именно:

если п>1, то сжатие в п раз;

если 0<п<1, то растяжение в

раз.

п.3.2.2 По оси у-ов

1-й пример (на растяжение).

у=2sinx.

Строить этот график методом полного исследования функции нецелесообразно. Отчетливо видно, что ординаты графика в 2 раза больше ординат исходного трафика y=sinx. Поэтому график заданной функции строится путем удвоения всех ординат исходного графика, т.е. путем растяжения исходного графика по оси у-ов 2 раза (рис. 27).

2-й пример (на сжатие).

у=

sinх.

По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в 3 раза, т. е. сжатием исходного графика по оси у-ов в 3 раза, что сделано на том же рисунке 27.

Рис. 86.

Таким образом, график функции y=mf(x), если известен график y=f(x), строится посредством растяжения по оси у-ов исходного графика пропорционально коэффициенту т при функции, а именно:

если т>1, то растяжение в т раз;

если 0<т<1, то сжатие в

раз.

Примечание 1. Если требуется построить график функции y=mf(nx), то сначала строится штриховой линией график исходной функции у=f(х), а затем этот исходный график сжимается по оси х-овв п раз и растягивается по оси у-ов в т раз.

Примечание 2. На графиках, разобранных в этой главе, все исходные штриховые линии (первоначальные оси координат, сдвинутые в дальнейшем, и исходные графики) можно стереть или перечеркнуть по окончании всех построений.

§3.3. Отражение.

График функции y=-f(x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси х (рис. 28)

График функции y=f(-x) получается зеркальным отражением графика функции y=f(x) относительно оси у (рис. 29)

Рис. 28. Рис. 29.

1. Построить график функции если дан график функции y=f(x).(рис. 30, а)

Рис. 30

Последовательно строим сначала графики функций у=2f(x),
у=-2f(x), у=-2f(-x) (рис 30, а), а затем графики функции

и (рис. 30, б)