Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики (стр. 10 из 15)

В учебниках Мордковича функция у=

вводится в 8 классе, на основе функции затем даются свойства квадратных корней. То есть, то, что в 8 классе учащихся знакомят с данной функцией обосновано методически.

Знакомство же со степенной функцией происходит лишь в 11 классе. Первой функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится

. Ей посвящен §40. Дело в том, что в предыдущем параграфе введен п-ый корень из действительного числа, следовательно, необходимо подумать о графике и свойствах функции . Параграф начинается с рассмотрения уже известной функции когда п=2. На основе сравнения графика данной функции с графиком функции у=х² вводится понятие симметричной функции. Формулируется теорема:

Точки М(а;ь) и Р(ь;а) симметричны относительно прямой у=х.

После чего идет доказательство теоремы..

Формулируются свойства функции

. В учебниках Мордковича помимо тех свойств, которые изучаются у Алимова и Макарычева, рассматривается выпуклость и вогнутость графика функции.

И наконец, §44 посвящен уже степенной функции вида у=х^r, где r – любое действительное число. Основная цель этого параграфа – добиться того, чтобы учащиеся четко представляли себе эскиз графика степенной функции у=х^r для любого рационального показателя r и знали свойства степенной функции.

При формулировке свойств рассматривается три случая: степень больше единицы, степень больше нуля, но меньше единицы и отрицательная степень.

В этом же параграфе идет речь о дифференцировании и интегрировании степенной функции. Повторяется материал 10 класса: составление уравнения касательной, исследование функций на монотонность и экстремумы, построение графиков функций, отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной, вычисление площади плоских фигур.

§2.5. Показательная функция.

В 10 классе в учебнике Алимова рассматривается показательная функция. Основная цель –познакомить с многообразием свойств и графиков показательной функции в зависимости от значений оснований и показателей степени.

Первое с чем знакомятся ученики на уроках математики – это свойства показательной функции и ее графиком. На ее изучение отводится один параграф, который начинается с повторения свойств степеней. После чего вводится определение показательной функции. Далее рассматриваются основные свойства показательной функции. Свойства монотонности обосновываются аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов. В учебнике приводится в пример формула радиоактивного распада

, где m(t) и m_o – масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t=0, T - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшится вдвое). Так же рассказывается, что с помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения.

В учебниках Колмогорова показательная функция изучается в 11 классе. Прежде чем ввести понятие показательной функции f(x)=a^x, где х принимает любые значения из множества действительных чисел, проводится подготовительная работа. Начинается со знакомства учащихся с функцией f(x)=a^x, область определения которой – множество рациональных чисел. Для каждого положительного числа а можно найти значение выражения

( - любое рациональное число). Таким образом, любому числу х из множества Q соответствует действительное число a^x. На странице 179-180 учебника после определения показательной функции помещен материал, адресованный учащимся, проявляющим повышенный интерес к занятиям математикой. В нем описана схема доказательства существования значения показательной функции для любого иррационального х (следовательно, и самой функции).

В учебнике Мордковича учащиеся впервые сталкиваются с понятием показательной функции уже в 9 классе, на примере формулы п-го члена геометрической прогрессии. Следующая встреча с данной функцией у учащихся происходит только в 11 классе. В §45 сначала рассматривается функция у=2^х, хÎQ. При рассмотрении свойств у=2^х отмечается, что это возрастающая функция, неограниченная сверху и ограниченная снизу, не имеющая ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Кроме того, рассматривается функция у=2^хпри х=

. Доказывается, что при вычислении получается конкретное число. То есть в учебнике Мордковича рассматриваются функции не только с рациональным показателем, но и действительным.

При формулировке общих свойств графика функции, рассматриваются два случая, когда основание целое число и дробное число большее нуля, но меньшее единицы. И только после этого вводится определение показательной функции.

Кроме того, в учебнике Мордковича изучается горизонтальная асимптота графика функции, и способ ее отыскания.

В учебнике обращается внимание на то, что учащиеся иногда путают понятия показательной функции и стенной. Предлагается сравнить данные функции. Далее автор не забывает упомянуть функцию

. Говорится, что данная функция не считается ни показательной, ни степенной, но ее иногда называют показательно- степенной.

Во втором замечании автор говорит, что не рассматривается показательная функция с основанием а=1.

§2.6. Логарифмическая функция.

В учебнике Алимова с логарифмической функцией учащиеся впервые сталкиваются в 10 классе.

Основная цель – познакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком.

До введения понятия логарифмической функции формируется понятие логарифма числа, изучаются свойства логарифмов.

§6 начинается с определения логарифмической функции. После чего формулируются свойства данной функции. Аналитическое обоснование свойств функции от всех учащихся не требуется.

В конце параграфа дается теорема:

еслиlog_ax₁=log_ax₂, гдеa>0, a¹1, x₁>0, x₂>0 тоx₁=x₂.

В учебнике Колмогорова логарифмическая функция вводится 11 классе. Логарифмическая функция, как и показательная, не может впервые вводится с помощью формулы (как это делается в учебнике Алимова). Причина этого в том, что в курсе алгебры еще не введено понятие логарифма числа. Поэтому функция вводит, как обратную к показательной функции f(x)=a^x , хÎR. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. (Причем у Алимова понятие обратной функции вводится после введения логарифмической функции.) В отличии от учебника Алимова у Колмогорова не сформулировано свойство о положительных и отрицательных значениях х.

В учебнике Мордковича понятие логарифма в §48 вводится при помощи графических соображений. Предлагается одновременно рассмотреть две функции

и . Делается наблюдение, что данные графики симметричны относительно прямой у=х. После чего дается определение логарифмической кривой.

При формулировке свойств рассматривается два случая, когда основание больше 1 и когда основание больше нуля, но меньше единицы. Кроме тех свойств, которые перечислены в учебниках Алимова и Мордковича здесь рассматриваются свойства выпуклости, непрерывности, ограниченности, четности, наибольшего или наименьшего занчения.

§2.7. Тригонометрические функции.

В 11 классе в учебнике Алимова изучаются свойства и графики функций y=cosx, y=sinx, y=tgx. Обратные тригонометрические функции.

Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся строить их графики.

Первой тригонометрической функцией, с которой знакомятся учащиеся, становится функция y=cosx, в §19.

Изучение данных функций начинается с повторения определения синуса, косинуса и тангенса произвольного угла которые были введены в 9 классе.

Так как функция y=cosx периодична с периодом 2p, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке длиной 2p. Кроме того достаточно построить ее график на отрезке 0£х£p, а затем симметрично отразить относительно оси Оу. Прежде чем перейти к построению графика, доказывается, что функция y=cosx убывает на отрезке 0£х£p. Доказанное здесь свойство позволяет сделать вывод о возможности построения графика функции на этом отрезке и распространении его на всю числовую прямую.