Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач (стр. 9 из 13)

В задачах второго типа ориентировочная основа действий менее содержательна по сравнению с ней для задач первого типа. Тем не менее, умения строить графическую модель, интерпретировать ее, формулировать факты, заложенные в ней в виде, удобном для составления уравнений, являются основополагающими для успешного решения и достигаются в процессе решения системы задач [12, 15].

Как показывает опытное преподавание, использование данного способа визуализации для обучения решению задач на прямолинейное равномерное движение, является эффективным средством. Его эффективность обуславливается следующими причинами: данный способ естественно приводит к математической модели, данный способ отражает структуру задачи, соответствует формуле наглядности, данной Болтянским. Поясним приведенные аргументы. Естественность получения математической модели заключается в том, что мы получаем её непосредственно из графической модели. Например, во втором способе решения задачи 6 непонятно, почему мы вводим в качестве переменных скорости движения пешеходов, почему рассматриваем именно равенства 1) и 2), и, наконец, деление одного равенства на другое является также достаточно искусственным шагом, в то время как из графической модели уравнение следует естественным образом. Данный способ визуализации отражает структуру задачи, т.е. взаимосвязи между данными задачи, это помогает увидеть общее в разных, на первый взгляд, задачах, что, в свою очередь, формирует представление о математическом моделировании в целом.

2.3. Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами

Для решения некоторых аналитических задач можно использовать систему координат. Целесообразность ее использования можно аргументировать, ссылаясь на следующую цитату из статьи В. А. Далингера [2]: «Созданный Рене Декартом метод имеет огромное значение не только в научных открытиях. Он привнес значительный эффект и в процесс обучения математике. Эффект этот в первую очередь состоит в том, что координатный метод дает возможность многим абстрактным алгебраическим объектам, изучение которых строится на словесно-логической основе, дать геометрическую интерпретацию, позволяющую опираться на наглядно-образное, визуальное мышление».

Среди множества всех задач с параметрами можно выделить целый класс задач, которые можно решить с использованием графических методов визуализации. Как и в случае с текстовыми задачами этот метод не является непосредственно наглядным, а, следовательно, для его усвоения требуется предварительная работа по формированию навыков работы с графическими моделями. Формирование самих по себе графических представлений и умений учащихся является задачей школьного курса математики, но данная тема (использование графических свойств для решения задач с параметрами) имеет свои специфические аспекты, которые заключаются в обобщении свойств графиков. Так, например, у учеников сформированы представления о зависимости угла наклона линейной функции и коэффициента при неизвестном в ее аналитическом выражении, но если данный коэффициент задан параметром, то мы получаем множество прямых с углами наклона от 0 до

, которое условно называют «вращающаяся прямая».

Среди методов визуализации, применяемых при решении задач с параметрами, можно выделить следующие: 1) движущаяся прямая; 2) вращающаяся прямая; 3) координатные плоскости «неизвестное-параметр» и «параметр-неизвестное»; 4) применение свойств графиков функций.

Обучать применению данных методов целесообразнее в указанном порядке, так как каждый последующий метод является более сложным, и в некоторых случаях содержит идеи предыдущих.

Метод «Движущаяся прямая».

Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f(x) = a. Метод основывается на том, что простейшее параметрическое уравнение y = a задает множество всех прямых параллельных оси абсцисс.

Построение данной графической модели предполагает умение строить графики функций. На подготовительном этапе обучения моделированию нужно актуализировать знания связанные с построением графиков функций и подвести к графической модели параметрического уравнения y = a. Реализовать данные задачи можно через систему упражнений, которая предполагает построение графиков функций и работу с ними. Работа с графиками подразумевает ответ на следующие вопросы: назовите множество значений функции; сколько раз и почему функция принимала значение В (под В подразумевается конкретное числовое значение причем его нужно варьировать, в том числе брать его не из множества значений функции); каким должно быть значение а, чтобы уравнение y = aзадавало касательную к функции.

Этап обучения моделированию является обобщением первого этапа. Здесь нужно сформировать представление о зависимость между значением параметра и положением прямой y = a. На предыдущем этапе ученики отвечали на вопрос о том, сколько раз функция принимает конкретное значение, опираясь на это, нужно сформулировать общее правило ответа на этот вопрос, сопровождая его соответствующими иллюстрациями. Таким образом, возникает прямая, положение которой зависит от величины, не являющейся заранее определенной и, следовательно, уравнение y = a задает множество прямых.

Иногда учащиеся не понимают смысла параметров. Это связанно с его двойственностью: с одной стороны параметр обозначает конкретное число, с другой – параметр изменяет свои значения. Указанный выше подход опирается в начале на конкретные значения, затем изменению значений соответствует движение прямой, это помогает наглядно раскрыть смысл параметра.

При работе с моделями нужно подобрать задания, двигаясь при этом от простого к сложному. С предыдущих этапов ученики знают, как зависит положение движущейся прямой от значений параметра, умеют интерпретировать информацию, содержащуюся в модели. Им можно показать решение задачи с параметром и общий метод рассуждения для подобных заданий.

Найти число корней уравнения

в зависимости от параметра а.

Построим график функции (предполагается, что ученики владеют приемами построения графиков подобных функций), и построим условно график уравнения y = a, причем дляa< 0. Мы видим (рис. 8), что при этих значениях параметра а два графика не пересекаются. Двигая прямую вдоль оси ординат вверх параллельно самой себе, получим, что при a= 0 уравнение имеет два корня, при уравнение имеет четыре корня, при a= 4 – три корня и при a> 4 – два корня.

Далее нужно рассказать об общем виде заданий с параметрами, для которых применим данный метод. Если уравнение имеет другой вид, то его нужно преобразовать (если это возможно). Далее следует привести систему заданий, в которой будет усложняться условия: требуется преобразовать выражение к нужному виду; усложняется функция, которую надо строить; выбираются из различных промежутков значения для х и т.д.

Метод «Вращающаяся прямая».

Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f(x) = aх. Метод основывается на том, что параметрическое уравнение y = ax задает множество всех прямых, проходящих через начало координат.

Так как данный метод предполагает использование свойств линейной функции, то на подготовительном этапе нужно актуализировать знания об этих свойствах, подвести к графической модели параметрического уравнения y = ax. Для этого нужно проделать работу по построению графиков линейных уравнений, по нахождению коэффициентов из графика, по составлению уравнений из графиков [6]. Кроме того, нужно актуализировать знания о касательной, ответить на вопрос: при каком k график функции y=kx+b будет касательной для данной функции f(x), здесь kи bимеют конкретные числовые значения, найти геометрические образы решений уравненияf(x) =kx+b. Всё это реализуется через систему задач.

Этап обучения моделированию нужно начать с обобщения свойств линейной функции на случай произвольных коэффициентов. Опираясь на результаты предыдущего этапа можно сделать естественный переход от конкретного задания функции к параметрическому. Например, поставив вопрос: можем ли мы для данной линейной функции y=kx+b, где bфиксирован, так подобрать значения для k, чтобы график имел любой наперед заданный угол наклона (проходил через любую точку окружности с центром (0; b))? После этого нужно остановиться на геометрической модели параметрически заданной линейной функции y=аx. Далее этап обучения моделированию переходит в этап обучения работы с моделями.