Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач (стр. 8 из 13)

Далее моделируемые ситуации должны усложняться, в условие должны входить 3 или более объектов, вместе с этим, как следствие возрастает количество числовых данных о вообще объем задачи, следовательно, усиливается роль анализа, умения выделить главные существенные стороны задачи.

Пешеход и велосипедист одновременно из одной точки направились навстречу всаднику. В момент, когда велосипедист встретил всадника, пешеход отставал от них на 3 км. В момент, когда пешеход встретил всадника, велосипедист обогнал пешехода на 6 км. Составьте модель данной задачи.

В этой задаче нужно выбрать положительное направление. Конечно, рациональнее выбор, при котором в положительном направлении движутся пешеход и велосипедист, но нужно показать оба случая для формирования умения рационально строить модель и понимания разновариантности. Кроме того, здесь уже три движущихся объекта, и подразумевается, но явно не сказано, что велосипедист движется быстрее пешехода.

Наращивая уровень сложности нужно дать задание подобного рода.

Идущего по дороге с постоянной скоростью человека рейсовый автобус обгоняет через каждые 7 минут, а через каждые 5 минут проходит встречный автобус. Составьте модель данной задачи.

Далее идут задачи, в которых по данной модели требуется определить числовые, или сравнительные характеристики движущегося объекта. Например, по данному рисунку определить какой объект двигался быстрее, где место встречи по отношению к началу и концу пути?

И, наконец, задания на составление задачи по модели.

Следующий этап предполагает непосредственное применение графических моделей для решения данного класса задач. В начале естественнее будет рассмотреть задачи первого типа, совместно провести анализ задачи, опираясь на графическую модель, перейти к математической модели.

Если мы рассматриваем задачи первого типа, то существенной чертой данного этапа является абстрагирование от функциональной части модели, и рассмотрение ее с позиций геометрии. То есть ученик должен уметь видеть геометрические отношения в данной модели, а так же уметь интерпретировать эти отношения в терминах данной задачи. Провести анализ задачи в данном случае означает выделить геометрический образ неизвестного, и идти от него к данным, устанавливая геометрические связи. Как правило, неизвестным бывает длина отрезка, в результате анализа задачи она выражается через данные, тем самым мы переходим к математической модели данной задачи. Строить графические модели, выделять геометрические образы неизвестных ученики умеют с предыдущих двух этапов, на этом этапе им нужно научиться проводить анализ задачи, используя графическую модель, что достигается путем выполнения упражнений. Приведем пример анализа подобной задачи и методической работы с ней.

Задача 6.Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут. Сколько времени каждый из них находился в пути?

Ученики владеют методами построения модели. Пусть модель построена (рис. 6), перейдем к ее анализу. Введем предварительно обозначения всех точек пересечения прямых, а через точку С проведем перпендикуляр МК к оси абсцисс. В задаче требуется найти время нахождения в пути обоих пешеходов, время движения каждого после встречи известно, следовательно, неиз

вестным является время движения до момента встречи. Геометрическим образом неизвестного будет отрезок ВК. Заметим, что величину x мы можем выразить через подобие треугольников ВСЕ и АСР. Так как треугольники ВСЕ и АСР подобны, то (в подобных треугольниках все сходственные элементы находятся в одном отношении, ВК и КЕ – проекции сторон ВС и СЕ на сторону ВЕ в треугольнике ВСЕ, MP, AM– аналогичные проекции в треугольнике АСР). Т. е. . Далее, решая полученное уравнение, мы устанавливаем числовые данные.

В данной задаче мы установили геометрический образ неизвестного благодаря геометрическому образу точки встречи. Интерпретировать эти геометрические образы ученики умеют с предыдущего этапа. Тем не менее, работа по их выделению его неотъемлемая часть, существенно новым для данного этапа является геометрическое получение равенства

. Важно, чтобы ученики поняли, что данный результат является обоснованным, что данное отношение следует из условия задачи, а использование графической модели лишь промежуточный шаг, который дает верные результаты вследствие изоморфности условию. Для этого их можно попросить ответить, опираясь на графическую модель, на следующие вопросы: что можно сказать о скоростях пешеходов, какие параметры в данной графической модели можно менять, какие остаются неизменными и сохраняется ли при этом полученное отношение? Для того, чтобы обосновать, что полученное в ходе решения уравнение является следствием условия задачи, а не данной графической модели можно привести решение, не опирающиеся на данную модель. Пусть скорость первого пешехода будет , а скорость второго пешехода будет , и пусть время, затраченное обоими до момента встречи, будет равно t. Тогда путь, пройденный первым до момента встречи, будет , а вторым . Заметим, что второму осталось пройти до конца пути столько же, сколько прошел первый до момента встречи, а первому – сколько прошел второй. Значит 1) , а 2) , поделим первое равенство на второе, получим искомое отношение.

При таком подходе каждый раз, в отличие от способа, где используется графическая модель, нужно проводить различные рассуждения: в данном случае нужно догадаться и обосновать равенства 1) и 2) и уже потом перейти к отношению, в то время как из графической модели данное отношение непосредственно следует. Стоит показать ученикам данные подходы для обоснования независимости полученного решения и преимуществ первого подхода.

Далее следует перейти к задачам второго типа, давая их как задачи, в которых геометрия их графических моделей играет вспомогательную, а не основную роль. Четкого критерия для того, чтобы отличить данные задачи от задач первого типа дать нельзя, тем не менее, ученики должны понимать разницу между ними. Основной довод в пользу того, что задача второго типа состоит в том, что геометрический образ искомой величины не выражается явно (из подобия или равенства фигур) при помощи геометрии. Но, во всяком случае, геометрия графической модели такова, что величина геометрического образа искомого однозначно из нее определяется, в случае если условия задачи являются полными. И хотя мы ее не ищем при помощи геометрии, но имеющаяся в графической модели информационная картина такова, что содержит все сведения для перехода к математической модели. Все навыки для получения этих сведений ученики имеют, тем более они отработаны в процессе решения задач первого типа. Нужно переходить непосредственно к анализу данных задач. Приведем пример анализа подобной задачи.

Задача 7.Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист в пункте В повернул назад и через час после начала движения встретил пешехода. Доехав до А, снова повернул назад и встретил пешехода через 40 минут после первой встречи. Определить время, затраченное пешеходом на весь путь.

Так как в условиях не дана ни одна величина размерности длины, то весь путь можно принять за единицу. Обозначим через

скорость пешехода, через – скорость велосипедиста. Приведем для наглядности иллюстрацию (рис. 7), но в этой задаче она будет играть вспомогательную роль. Составим уравнения, используя при этом графическую модель. За час, прошедший до первой встречи, пешеход и велосипедист вместе прошли удвоенный путь от А до В, что непосредственно видно из иллюстрации, поэтому . За часа до второй встречи велосипедист прошел на удвоенный путь больше, чем пешеход, поэтому

.

Решая систему

,

получаем

. Это означает, что за час пешеход проходит 0,4 всего пути, а на весь путь он затратит 2,5 часа.

В данной задаче нам требуется найти длину отрезка AD. Она не выражается из подобия или равенства треугольников, но, как видно, имеет определенное значение. Все уравнения, полученные в ходе решения задачи, не являются следствиями каких-либо геометрических соображений, но имеющаяся в графической модели информация наглядно иллюстрирует логику построения математической модели данной задачи. Таким образом, графическая модель отвечает на вопросы: что дано и что требуется найти? Она помогает переформулировать вопросы так, что от них непосредственно можно перейти к уравнению, например, из того факта, что велосипедист и пешеход первый раз встретились через час после начала движения, с помощью иллюстрации достаточно просто получить, что к моменту первой встречи они вместе прошли удвоенный путь, что непосредственно приводит к уравнению.