Из любой графической модели, благодаря только геометрическим соображениям, можно перейти к математической модели, но это не всегда целесообразно. Осуществить указанный переход можно потому, что условия задач и их графические модели изоморфны, но иногда рассуждения с помощью геометрических образов – это не более чем переход от одной терминологии к другой. Такой переход не всегда целесообразен, так как не всегда приводит к элементарной геометрической задаче, поэтому данные задачи выделяются в отдельный тип.
Первый тип задач является эстетически более привлекательным, так как в способе решения есть элемент неожиданности: из геометрических соображений мы получаем решение задачи на движение. Причем такой способ никак не просматривается из условия самой задачи, что и является фактором неожиданности [21]. Такие рассуждения повышают интерес учеников к математике, так как раскрывают связи между различными ее областями. Кроме того, решение, полученное данным способом, будет более лаконичным, простым и наглядным. То есть для решения мы используем более короткий путь, сохраняя при этом строгость рассуждений; все это и делает решения задач данного типа эстетически более привлекательными.
Выше было сказано, что условия задач и их графические модели изоморфны. Поясним, в чем состоит данный изоморфизм. Во-первых, всякое равномерное прямолинейное движение можно описать с помощью линейной функции, и всякая линейная функция может трактоваться как график равномерного прямолинейного движения. Во-вторых, любой объект, указанный в задаче, имеет свой геометрический образ в графической модели: время – отрезок на оси абсцисс, расстояние – отрезок на оси ординат, моменты встречи – точки пересечения графиков, скорость – угол наклона графика. Таким образом, всякое изменение условий влечет за собой изменение графической модели и наоборот.
Для того, что бы данный способ визуализации соответствовал формуле наглядности, данной Болтянским (наглядность = изоморфизм + простота), недостает только простоты графической модели. Простота в данном случае понимается как оперирование понятными образами, как осознание указанного изоморфизма. Все это достигается с помощью решения поставленных задач с использованием определенной методики.
Подготовительная работа при обучении моделированию текстовых задач на движение заключается в формировании умений переводить условие задачи на язык графиков и умений «читать» графики.
Мы работаем в системе координат «время-путь». Первой структурной единицей в системе умений и понятий, необходимой для овладения этим методом, является понятие линейной функции и умение интерпретировать ее как зависимость пути от времени равномерно и прямолинейно движущегося объекта. То есть ученик должен уметь выбрать точку отсчета и положительное направление осей координат, понимать, как отражается скорость на поведении графика.
Таким образом, пропевтическая работа, целью которой является диагностирование и устранение (если имеются) пробелов, а так же актуализация знаний с акцентом на данную интерпретацию, может быть организована с помощью задач. Основным требованием в такой задаче является построение по данным условиям графика, и обратная задача – интерпретировать данный график. При этом существенную роль играет варьирование условий в одной и той же задаче, так как это позволяет осознать влияние их в отдельности, помогает проследить динамику изменения поведения графика [4, 15].
Приведем пример такой работы.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Изобразите в координатной системе «время-путь» график движения велосипедиста.
В задаче с данным условием целесообразно выбрать пункт А так, чтобы он совпадал с началом координат. Далее нужно варьировать условия, изменяя скорость, время движения, направление движения, точку отсчета пути, точку отсчета времени.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В. Изобразите в координатной системе «время-путь» график движения велосипедиста, если известно, что он двигался со скоростью 10 км в час.
При таких условиях график останется тот же самый, здесь нужно акцентировать внимание учеников на то, что график всегда выражает три параметра: расстояние, время, скорость.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал на час позже, и двигался с той же скоростью. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.
В этой задаче график движения второго велосипедиста сдвигается параллельным переносом на единицу вниз. Аналогично нужно варьировать начало отсчета пути, пути и времени одновременно. Такое изменение формирует представления о местоположении точки отсчета, которое необходимо для умения моделировать данным способом задачи более сложного содержания.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал на час позже, и прибыл в пункт В одновременно с первым. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.
В данной задаче варьируется скорость второго велосипедиста. При изменениях такого рода формируется понимание зависимости угла наклона графика от скорости.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал из пункта В одновременно с первым, и прибыл в А когда первый прибыл в В. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.
При данных условиях формируется умение выбирать положительное направление движения. Здесь же можно поставить вопрос о времени или месте встречи велосипедистов, что даст первоначальные представления о сути метода. В данной задаче возможны еще случаи варьирования условий, но вышеуказанные составляют основу, так как остальные из них являются комбинацией первоначальных.
Итак, основополагающими являются умения выбирать точку отсчета по пути и по времени, положительное направление движения, понятие о зависимости угла наклона графика от скорости движения объекта. Достижение всего вышеуказанного происходит в процессе решения задач, подобных приведенным.
Этап обучения графическому моделированию задач на движение во многом опирается на умения, сформированные на предыдущем этапе. Но в данной части есть свои, специфические для данного этапа, особенности. Они заключаются в том, что условия, формулируемые в задаче, не позволяют однозначно построить график отдельного движущегося объекта, так как в них не задаются все те параметры, которые позволяли бы это сделать. Тем не менее, модель должна отображать существенные стороны задачи. Например, условия задачи не позволяют однозначно построить графики двух движущихся объектов, но из них ясно, что если один движется быстрее другого, то и угол наклона у него должен быть больше. Кроме того, на данном этапе нужно сформировать умение рационально строить модели. Этого можно добиться, давая при удобном случае рекомендации по построению модели. К таким рекомендациям можно отнести следующие [3]:
· если в задаче несколько объектов движутся на встречу одному, то удобнее в начало координат поместить эти несколько объектов;
· если в задаче движение начинается в какое-то определенное время суток, которое не влияет существенно на саму задачу, то при построении модели лучше полагать, что движение началось в момент времени;
· если в задаче есть динамика движения (то есть движение объектов относительно друг друга меняется), то удобнее те изменения, которые затрагивают меньшее количество графиков (например, если человека обгоняет рейсовый автобус через временной интервал, то для изображения момента встречи с идущим в другую сторону автобусом рациональнее развернуть график пешехода, чем совокупность прямых, изображающих движение рейсового автобуса).
Аккуратность чертежа хотя сама собой разумеется, но следует сделать акцент на то, что модель которая наиболее точно воспроизводит пропорции, указанные в задаче, может оказать существенную помощь в поиске решения задачи, тем более если эта задача первого типа.
Таким образом, модель становится схематичной, но, несмотря на это должна отражать существенные стороны задачи, так как это необходимое (а во многом и достаточное) условие успешности решения задачи [23].
В связи с этим необходимо обучать моделированию в данных условиях, что подразумевает под собой поэтапное движение от схематичного моделирования условий с двумя движущимися объектами к моделированию сложных условий с тремя и более движущимися объектами (например, периодическое движение рейсового автобуса). Необходимо также умение «читать» модели, то есть понимать, какой объект движется быстрее, какой раньше прибыл, где или когда они встретились. Значит, ученики должны выполнить работу по составлению моделей, по интерпретации моделей, по исправлению сознательно допущенных в ней ошибок, по составлению задач по данной модели.
Приведем примеры заданий, которые можно использовать на данном этапе.
Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут. Составьте модель данной задачи.
Данная задача не позволяет однозначно строить графики движения пешеходов, но подразумевает, что первый двигался быстрее, это должно быть отражено в модели. Для более хорошего освоения и закрепления можно дать еще 1-2 такие задачи.