Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач (стр. 5 из 13)

Второй этап. Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка. Ответ можно получить арифметически, не составляя уравнение, иногда его можно «усмотреть» на чертеже. С помощью диаграммы можно составлять различные уравнения к задаче, то есть решать её разными способами.

Третий этап. Перевод с геометрического языка на естественный осуществляется автоматически, в результате переноса терминологии. В начале следует сделать подробную запись с указанием того, что обозначает каждый отрезок. Постепенно можно переходить к краткой записи, так как некоторые факты видны на чертеже.

На мотивационном этапе формирования геометрического метода основанного на использовании линейных диаграмм целесообразно предлагать решить задачу двумя методами: алгебраическим и геометрическим. При этом следует подбирать задачу таким образом, чтобы её решение с помощью линейной диаграммы было более рациональным по сравнению с решением без чертежа.

Далее следует рассмотреть класс задач, для которых применим данный метод визуализации. При этом сюжеты задач должны быть разными, для того чтобы данный метод не ассоциировался с каким-то определенным видом сюжетных задач. При этом сложность задач, сложность построения модели должна повышаться. Нужно также указывать на модели различных сюжетных задач, в случае если они сходны, так как это формирует представление об универсальности данного метода, и вообще о моделировании как общего математического метода [12, 21].

Данный метод визуализации применим для относительно простых задач, тем не менее, его значимость достаточно высока. Он обогащает арсенал средств, которыми может пользоваться ученик при решении задач, а задачи, в которых данный метод применим, довольно часто возникают в качестве подзадачи на этапе анализа при решении более сложных задач. Часто такие задачи бывают на всевозможных математических турнирах, где требуется их решить за минимальное время. Например: «Кирпич весит 2 кг и еще пол кирпича. Сколько весит кирпич?» или «"То" да "это", да половина "того" да "этого"– сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?». Данный метод может оказать в подобном случае существенную помощь. Кроме того, данный метод является эффективным средством как при обучении решению задач на проценты, так и при обучении понятию процента как части от целого.

Линейные диаграммы могут использоваться на разных этапах решения задачи. При анализе текста она помогает учащимся лучше понять смысл задачи, рассматриваемые в ней отношения, при поиске способа решения – составить уравнение или арифметическое выражение. На этапе анализа решения задачи можно найти другое (иногда более рациональное) решение. Оно может использоваться для проверки ответа, полученного алгебраическим способом.

В задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно для наглядности представить такое произведение в виде площади прямоугольника, то есть в виде двумерной диаграммы. Двумерная диаграмма может состоять из одного или нескольких прямоугольников.

Подготовительная работа к моделированию текстовых задач в данном случае, как и при использовании линейных диаграмм не требуется, так как используемые объекты и методы работы с ними ученикам достаточно хорошо известны и не представляют особой сложности.

Второй этап в методике обучения использованию двумерных диаграмм можно реализовать, опираясь на линейные диаграммы. Лучше всего перейти к моделированию тех задач, которые предварительно решены алгебраическим методом. Это связанно с тем, что ученики знают структуру задачи, установлены связи между данными и искомым, что делает построение модели более естественным. Кроме того, такой подход позволяет сравнить два способа решения задачи.

Перед построением геометрической модели, нужно установить связь геометрических преставлений в виде двумерных диаграмм с геометрическими представлениями в виде линейных диаграмм. Для этого, необходимо заметить учащимся, что в случае использования линейных диаграмм отрезками изображались значения одной и той же величины. Эти отрезки располагались на параллельных прямых. В задачах, где рассматривается произведение двух величин, отрезками будем изображать значения двух разных величин и отрезки будем располагать на двух перпендикулярных прямых так, чтобы они были смежными сторонами прямоугольника. Тогда площадь прямоугольника будет соответствовать произведению этих величин, а полученное изображение будем называть двумерной диаграммой. Приведем пример.

Задача 2.Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки.

Алгебраический метод приводит к уравнению:

,

где

– скорость реки. Решив уравнение, находим .

Рассмотрим геометрический метод. Так как в данной задаче рассматривается равномерное движение, то пройденный лодкой путь можно представить в виде произведения скорости и времени движения.

Пусть сторона АВ прямоугольника АВСDизображает скорость лодки по течению реки (рис. 2). Тогда ADбудет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через скорость течения реки, а через – время движения лодки по течению реки, то и .

Площадь прямоугольника АВСD(S₁)будет соответствовать пути пройденному лодкой по течению реки:

.

Далее следует предоставить учащимся самим построить двумерную диаграмму движения лодки против течения реки. Необходимо акцентировать их внимание на следующих моментах: прямоугольники нужно изображать вместе, чтобы они составляли одну фигуру, причем высоты этих прямоугольников должны быть равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки, целесообразнее высоту прямоугольников, изображающую время, сделать общей, тогда получаем фигуру в виде прямоугольника, площадь которого легко найти.

Далее продолжаем решение. Пусть отрезок BEизображает скорость лодки против течения реки (BEберем меньше АВ), тогда отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки:

.

Площадь прямоугольника BEFCсоответствует пути пройденному протии течения реки:

. Площадь прямоугольника ABFC определяет весь путь пройденный лодкой: .

В то же время,

, , , тогда имеем: 60=30 , , 35:2 = 17,5 – скорость движения лодки по течению, 17,5 – 15 = 2,5 – скорость течения реки.

Использование двумерных диаграмм в курсе алгебры опирается на следующую теорему: если через произвольную точку Eдиагонали AC прямоугольника ABCDпроведены прямые FM и HKпараллельные соответственноABиAD, образовавшиеся при этом прямоугольники HBME и FEKDбудут равновелики, прямоугольники ABMF и AHKD тоже равновелики, кроме того отрезки FH, DB и KM параллельны.

Приведем пример решения задачи с использованием данной теоремы.

Задача 3. Один наборщик работал над выполнением заказа 9 часов. После чего закончить работу было поручено второму наборщику, который закончил работу за 4 часа 48 минут. Если бы оба наборщика работали вместе, то они выполнили бы работу за 6 часов 40 минут. За сколько времени каждый выполнил бы работу, работая отдельно?

Работа, выполненная наборщиком, равна произведению его часовой выработки на число выработанных им часов и, следовательно, может быть представлена площадью прямоугольника.

Проведем горизонтальный отрезок (рис. 3) AB произвольной длины (почему мы можем длину выбирать произвольно?), пусть он изображает часовую выработку обоих наборщиков вместе. Перпендикулярно ему проведем два луча AA₁ и BB₁. Единичный отрезок будет обозначать один час работы. Отметим время на каждом из этих лучей, начиная от нуля. На луче АА₁отметим точку М, указывающую 6 часов 40 минут и проведем отрезок МР. Площадь прямоугольника АМРВ обозначает количество всей работы. Но эта работа выполнялась наборщиками поочередно, поэтому теперь следует построить два прямоугольника изображающих соответственно работу каждого наборщика отдельно. Оба прямоугольника вместе должны быть равновелики прямоугольнику АМРВ. Известны высоты этих прямоугольников (чему они равны?). Сумма оснований искомых прямоугольников должна составлять отрезок AB(почему?),так как часовая выработка при совместной работе двух наборщиков равна сумме часовых выработок каждого из них.