Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач (стр. 11 из 13)
В двух предыдущих методах решения заданий с параметрами был указан вид выражения, по которому мы можем сказать, что применим именно этот метод. В этом случае нужно отметить, что данный метод применяется, в случае, если задание содержит неравенство или неравенство возникает в результате преобразований, и можно выразить значение параметра через переменную или наоборот. Умение выбирать в случае необходимости подходящий метод делает решение сложных заданий более рациональным, рассуждения более ясными, последовательными и лаконичными.
Использование свойств функции.
Данный метод заключается в обобщении свойств графиков функций на случай параметра. Ученики владеют методами построения функций методом сдвига вверх и вниз, влево и вправо, сжатия и растяжения. Рассмотрение этих методов в случае параметрического задания функции дает эффективный способ решения задач с параметрами. Если выражение в задании с параметром не удается привести к виду, в котором его можно решить методами, изложенными выше, то можно прибегнуть к данному методу, еще его можно применить, в случае если полученное с его помощью решение будет более рациональным, чем решение, полученное иными методами.
Подготовительный этап в обучении данному методу предполагает актуализацию знаний по построению графиков функций указанными выше способами и подведению к использованию данных способов на случай параметра. Ученики должны выполнить задания с построением функций с помощью указанных преобразований, а так же задания преобразовать графически заданную функцию f(x) на случай f(ax), f(x 
a), f(ax 
),где a и b конкретные числа. Полезно рассмотреть одну и ту же функцию для разных числовых значений, так как получившийся результат можно будет обобщить.
Этап обучения моделированию можно реализовать, опираясь на разобранный метод «вращающаяся прямая», ссылаясь на то, что метод построения графической модели параметрического уравнения y=аx лишь частный случай, опирающийся на рассмотренные ранее приёмы построения графиков, для линейной функции. Если мы имеем функции вида f(ax), f(x a), f(ax 
),где a и b параметры, то графической моделью будет множество графиков, получающихся их графика функции y=f(x) при помощи соответствующих преобразований. На данном этапе нужно привести серию заданий, обыгрывающих разные ситуации по построению указанных выше графических моделей функций с параметром.
Постройте в системе координат графические модели, задаваемые следующими условиями:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.После выполнения данной системы заданий, нужно перейти непосредственно к применению графических моделей для решения заданий с параметрами. Так же как и в предыдущих методах, начав с простых задач.
Найдите значение параметра, при каждом из которых имеет хотя бы одно отрицательное решение неравенство
.Данное неравенство можно решить, применив метод «неизвестное-параметр», но для того, чтобы выразить
через 
, потребуется раскрыть модуль и рассмотреть два случая. Воспользуемся другим способом. Перепишем исходное неравенство в виде 
. Графиком левой части является парабола с вершиной в точке (0; 3), ветви которой направлены вниз. Графиком правой части является «прямой угол», вершина которого имеет координаты (0; а). В зависимости от значений параметра а этот «угол» перемещается вдоль оси абсцисс (рис. 11). Исходное неравенство имеет отрицательное решение, если найдется такое отрицательное значение переменной x, для которой соответствующая точка параболы расположена выше точки на «угле». Таких точек нет если вершина «угла» оказалась правее точки с абсциссой 3 или левее точки с абсциссой 
(точки вычисляются аналитически).После разбора серии относительно простых заданий нужно перейти к более сложным, при этом нужно подобрать некоторые задания таким образом, чтобы их можно было решить другим методом, причём использование этого метода должно в некоторых случаях давать более рациональное решение. Это будет способствовать осознанному выбору методов решения, заставит ученика рассуждать на всех этапах решения задачи, поспособствует более глубокому осознанию методов.
Данный метод позволяет решить более широкий класс задач с параметрами, чем приведенные выше методы. Поэтому и работа по закреплению умений строить и работать с графическими моделями здесь будет более обширной.
Все изложенные выше методы предполагают у учеников наличие умений исследовать функции: определять монотонность, четность, ограниченность, промежутки знакопостоянства, находить экстремумы. Решение задач с параметрами графическими методами сводится в основном к применению одного из вышеприведенных или к применению комбинации из данных методов, где отдельный метод применяется для решения возникающей подзадачи. Владение данными методами и умение их рационально применять во многом определяют успешность решения задачи. Даже если указанные методы не дают ожидаемого результата, визуальная модель поможет глубже осознать и понять задачу и может подсказать путь решения.
§ 3. Описание и анализ результатов опытно-экспериментальной работы
Опытное преподавание проводилось в в 8-б классе школы № 21 г. Кирова. Было проведено 5 уроков по теме «Решение задач на равномерное прямолинейное движение с использованием графических моделей».
На первом уроке были рассмотрены следующие вопросы: значения коэффициентов для графиков линейной функции, связь между линейной функцией и равномерным движением, методы задания с помощью линейной функции равномерного движения, методы построения графических моделей задач на движение.
Главной задачей в изучении первого вопроса была актуализация знаний о линейной функции для последующей интерпретации их в терминах равномерного прямолинейного движения. Коэффициент при свободной переменной линейной функции является тангенсом угла наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс, но ученики 8-го класса не владеют функциональным определением тангенса. Тем не менее, был рассмотрен геометрический смысл данного коэффициента для того определения, которым владеют ученики, с учетом возможной отрицательности коэффициента. Так же был рассмотрен геометрический смысл свободного члена и установлено, что его изменению соответствует параллельный перенос графика на вектор равный разности первоначального и конечного значения свободного члена. Можно было сразу раскрыть связь линейной функции и равномерного движения, но так как весь метод в целом предполагает переход к геометрической модели при решении задач, то такой подход обуславливается необходимостью установления связи между геометрической и физической трактовкой задачи.
При изучении второго вопроса учащимся была поставлена задача выяснить, какое движение называется равномерным и прямолинейным? Ответ отражал суть рассматриваемого понятия, но формулировка была нечеткой. Поэтому было дано определение: «Тело движется равномерно, если за любые одинаковые промежутки времени оно проходит одинаковые промежутки пути, прямолинейно – если траектория движения тела прямая».
Опираясь на это определение, в результате совместной работы со школьниками было выяснено, что путь, пройденный телом, пропорционально зависит от времени. Значит, если в качестве независимой переменной взять время, то путь будет линейной функцией от времени.
Далее был раскрыт физический смысл коэффициентов линейной функции. Физический смысл коэффициента при переменной был рассмотрен на том же изображении, что и геометрический. Так как рассмотрение геометрического смысла этого коэффициента опиралось на прямоугольный треугольник, то на этом этапе перед учащимися встала задача дать геометрическую трактовку катетов этого треугольника (для того чтобы выяснить, что означает их отношение), если график изображен в координатной плоскости «время-путь». Ученики достаточно успешно справились с этой задачей, но была необходимость в некоторых уточнениях. Таким образом, мы выяснили, что с одной стороны коэффициент при неизвестном в линейной функции – это скорость, с другой – тангенс соответствующего угла.