Измерение геометрических величин в курсе средней школы (стр. 3 из 3)
Задача 2.
Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, то есть:
. Так как 
получаем: 
что требовалось доказать.Задача 3.
Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
M B C
A K D
1-ый способ.
Если
- ромб, то 
, то есть 
. Наибольшее значение произведения зависит от наибольшего значения 
, которое достигается при 
, если 
, то 
. Следовательно, площадь ромба наибольшая среди всех площадей параллелограммов с данными диагоналями.2-ой способ.
Составим функцию, выражающую площадь параллелограмма:
при
.Так как
- наименьший угол, образуемый диагоналями при пересечении, то 
и будет точкой максимума, следовательно: 
; 
и этот параллелограмм – ромб.Задача 4.
Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна
.B
A D C
- трапеция, то есть 
подобен 
Так как для подобных треугольников их площади относятся как квадраты соответствующих линейных размеров, то:
Существуют различные методические подходы к изучению вопросов измерения геометрических величин в курсе стереометрии.
Для вывода формулы объема, могут быть использованы:
1. Принцип Кавальери: объемы (или площади) двух тел (фигур) равны, если равны между собой площади (длины) соответствующих сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (прямой).
2. Формула Симпсона:
.Пусть промежуток [a,b] разбит на n частейных промежутков [xi, xi+1] длины
, при этом n считается чётным числом, и для вычисления интеграла по промежутку [x2k, x2k+2] используется приведенная формула: 
.Принципиальным моментом в теории объемов тел является обоснование формулы для учащихся является достаточно трудным и сложным. Структурная сложность доказательства подсказывает, что при его изучении целесообразно воспользоваться приёмами выделения логической структуры доказательства (разбиения доказательства на отдельные шаги, составление логико-структурной схемы доказательства и т.д.). Наличие в доказательстве трудных для понимания рассуждений говорит о целесообразности использования приёмов конкретизации, моделирования и т.д.
Структура доказательства формулы объёма прямоугольного параллелепипеда:
1. устанавливается величина отношения высот двух параллелепипедов с общим основанием;
2. устанавливается величина отношения объёмов выбранных параллелепипедов;
3. сравнение полученных значений отношений;
4. вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, применяя доказанное свойство к единичному кубу и параллелепипедам с измерениями:
a,1,1; a,b,1; a,b,c.При решении задач учащиеся иногда “путают” свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, неправильно указывают их диагональное сечение и т.п. Более углубленное изучение этих понятий на этапе их введения обеспечивает применявшаяся ранее методическая схема:
1. проанализировать эмпирический материал;
2. математизировать эмпирический материал – построить определение;
3. составить алгоритм распознавания понятия;
4. включить понятие в систему понятий.
Задача № 5.
Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом 600. Найдите объем параллелепипеда.
.∆ AA1O:
; Из ∆ AA1K: 
.Из ∆ AOK:
; 
Из ∆ AA1O: 
;Из ∆ KA1O:
.Ответ:
.  |
Заключение
Построение строгой теории измерения геометрической величины в школьном обучении наталкивается на серьезные трудности. Это не означает отказа в школьном курсе от всякой теории измерения геометрических величин. Главное – стремление к строгости не должно быть самоцелью, но не следует скрывать от учащихся вынужденных логических пробелов. Например, площадь многоугольника определяется как сумма площадей треугольников, на которые его можно разбить. Естественно возникает вопрос, получим ли то же самое число, если разобьем данный многоугольник на треугольники другим способом и сложим площади треугольников разбиения. В школе не изучается теорема о независимости суммы площадей треугольников разбиения от способа разбиения, но об её существовании следует сообщить учащимся о существовании такого факта.
Литература
1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.