Методы обучения математике общая характеристика и классификация (стр. 5 из 5)
Различают два основных вида индуктивных умозаключений: неполную и полную индукции.
Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.
Единичные суждения:
окружность может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
эллипс может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках.
Частные суждения:
Эллипс (в частности, окружность), парабола представляют собой виды конических сечений, образуя множество кривых второго порядка.
На основании этих суждений получаем новое: кривые второго порядка могут пересекаться с прямой не более чем в двух точках (истинное).
Если число случаев конечно и все они рассмотрены, то вывод, сделанный посредством полной индукции можно считать обоснованным.
Например:
от 1 до 10 четыре простых числа;
описать все возможные решения уравнения х2=а: а<0, a=0, a>0.
Таким образом, заключение, основанное на полной индукции, является в полнее достоверным и она может использоваться как метод строгого научного доказательства (теорема о величине вычисленного угла; «доказать, что запись квадрата числа натурального не может оканчиваться цифрой 7»).
Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.
С точки зрения логики неполной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).
В процессе обучения неполная индукция проявляется, например, при изучении переместительного закона сложения, который ведется по схеме: 5+2=2+5, значит: a+b=b+a.
В процессе обучения методом неполной индукции не следует пренебрегать, т.к. 1) реализуется принцип обучения «от простого к сложному»; 2) изучение новых абстрактных понятий и суждений проходит естественным путем через опыт и наблюдение, через восприятие и представления; 3) обучает математической деятельности.
Дедукция
Дедукция (от латинского deductio – выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).
Дедукция есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение.Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение.
Дедукция имеет три значения:
вид умозаключения: 1) умозаключение от более общего положения к менее общему (или единичному) положению (общее суждение: НОД(a, b)=1, если a и b взаимно простые числа; частное суждение: НОД(14, 15)=1
новая частное суждение: числа 14 и 15 – взаимно простые); 2) умозаключение от общего положения к общему положению (все частные числа кратны 2; все нечетные не кратные 2 ни одно четное число не является одновременно нечетным числом); 3) умозаключение от единичного к частному: (число 3 – простое число; число 3 натуральное число некоторые натуральные числа являются простыми).метод исследования: для получения нового знания о некотором объекте (понятии, свойстве) находят ближайший к данному объекту (понятию) класс объектов (ближайшее родовое понятие), и применяют к этому объекту (понятию) существенные свойства этого класса объектов (признак рода). Например, изучая свойства квадрата, мы можем сначала установить то, что квадрат является ромбом. Следовательно, все свойства, имеющие место для ромба, имеют место и для квадрата (в частности, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны).
метод обучения. Включает: 1) обучение дедуктивным доказательствам и 2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических приемов (методов), в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.
1) под обучением доказательству понимается обучение мыслительным процессам поиска и построения доказательства, а не воспроизведение и заучиванию готовых доказательств, т.е. учим рассуждать. Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: «Что?», «Откуда?», «Как?».
а) «Что?» – что доказывается?, каково доказываемое предложение, для которого мы ищем доказательство?, как оно формулируется?, все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе сформулировать доказываемое предложение? Что «дано»?, что «требуется» доказать? Эти вопросы связаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду («вертикальные углы равны» или: если углы вертикальные, то они равны).
б) «Откуда?» – откуда, из каких посылок следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких же известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы «вывести» это предложение?
в) «Как?» – как доказываемое предложение получается (выводится), из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)?
В обучении доказательству выделяются два уровня:
– (V–VIII классы) – используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, «что доказывается» и «из чего это следует», но, не «как это следует», т.е. доказательство является рассуждением с помощью которого истинность одного предложения устанавливается на основе истинности других предложений.
– (в старших классах) – разъясняются простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства.
2) в процессе обучения (опытным путем или с помощью эвристических методов) открывали, что при условии А имеет место некоторое свойство В. в таком случае придется доказать теорему: А→В. Наиболее эффективным является следующее: пусть получено некоторое множество свойств Bi . Возникает проблема выяснения логических связей между предложениями Bi и предложением А с использованием уже известных значений. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения «укрепленными блоками» применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т.п.
Иллюстрацией может служить свойство точек, равноудаленных от концов отрезка.
В процессе обучения математике индукция и дедукция не выступают изолированно; они тесно переплетаются между собой.
Например: изучение переместительного закона сложения натуральных чисел учащиеся на частных примерах 2+7=7+2=9 убеждаются в справедливости свойства a+b=b
Q, используя индукцию; применяя этот закон для облегчения вычисления (1+42=42+1=43) учащиеся уже действуют дедуктивным путем.Метод совершенной индукции выражает взаимосвязь индукции и дедукции и используется тогда когда возникает необходимость дать логическое обоснование выводу, полученному индуктивным путем. Он осуществляется с помощью последовательно проводимых этапов: 1) наблюдение и опыт; 2) гипотеза; 3) обоснование (доказательство) гипотезы.
Например, требуется установить, сколькими способами можно совершить перестановку n элементов некоторого конечного множества.
Методы обучения – упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение целей обучения как средства образования и воспитания. Описание метода обучения включает:
Описание обучающей деятельности учителя;
Описание учебной (познавательной) деятельности ученика;
Связь между ними или способ управления познавательной деятельности учащихся обучающей деятельностью учителя.
Система методов обучения математике состоит из: а) общих методов обучения, разработанных дидактикой и адаптированных к обучению математике; б) частных (специальных) методов обучения математике, опережающих основные методы познания, используемые в математике. Это обусловлено тем, что:
цели обучения включают усвоение не только определенной совокупности научных фактов, но и методов добывания этих фактов, используемых в самой науке;
методы научных исследований – методы приобретения новых знаний в науке, методы обучения – методы приобретения новых знаний в познавательной деятельности;
специальные методы обучения, отражающие методы самой математики, способствуют формированию и развитию математического мышления учащихся.
1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2.Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3.Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4.Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5.Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6.А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.