Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії (стр. 3 из 14)

Порівнянні поняття поділяють на сумісні і несумісні. Якщо два порівняні поняття в своєму змісті не мають ознак, що виключають повний або частковий збіг обсягів цих понять, то їх називають сумісними.

Сумісність поняття включають у свій обсяг поняття, які перебувають у відношенні тотожності ( рівнозначності), підпорядкованості та часткового збігу(перерізу). У відношенні тотожності або рівнозначності перебуває поняття, які мають однаковий обсяг, але відрізняються одне від одного змістом. Це, наприклад, поняття перпендикуляра, проведеного в площині прямої, яка має той самий напрям і проходить через цю саму точку на колі. Обидва предмета мають різні ознаки, але один і той самий обсяг, бо такий перпендикуляр і така пряма збігаються.

У мові тотожні поняття називаються синонімами. У відношенні підпорядкування перебувають поняття, обсяг першого з яких повністю входить в обсяг другого тільки частково входить в обсяг першого. Перше поняття називається підпорядкованим, а друге – підпорядкованим.

Несумісні поняття –це поняття, обсяги яких зовсім не збігаються. Множини, відповідні цим поняттям, не мають спільних елементів. Зміст таких понять виключає будьяку можливість як повного, так і часткового обсягу. До несумісних належать поняття, які перебувають у відношенні співпідпорядкування, протилежнності і суперечності.

У відношенні співпідпорядкування перебувають поняття, обсяги яких входять у більш широке поняття якому вони однаковою мірою підпорядковуються. Множини співпідпорядкуваних понять не мають спільних елементів. Зміст цих понять має спільну родову ознаку але кожне з них має ще й свої власні видові ознаки.

У відношенні протилежності ( або супротивності, контрарності – від латинського слова contrarium – протилежність ) перебуває поняття, обсяги яких входять в обсяг підпорядковуючого, але повністю його не вичерпують. Зміст цих понять виключають зміст протилежного йому поняття. Між протилежними поняттями можливе третє. Прикладом понять, що перебувають у відношені протилежності, є „гострокутний трикутник”

„тупокутний трикутник” (між ними можливе третє поняття – „прямокутний три кутник” , спільною родовою ознакою їх є поняття „трикутник”.

У відношенні суперечності перебувають такі два сумісні поняття, кожне з яких включає зміст іншої. Обсяги їх не збігаються і водночас вичерпують обсяг родового поняття. Між ними неможливе третє поняття. Такими поняттями будуть: „рівний”„нерівний”, „гострий”„негострий” , „ціле число”„неціле число”, „більше”„не більше” і так далі.

Поділ поняття – це логічна дія, яка полягає в мисленому поділі обсягу (роду) поняття на видові поняття, з яких відображені види предметів.

Особливим видом поділу є також кваліфікація. Тут не обмежується поділом поняття на класи, а класи поділяють на підкласи, підкласи –на ще дрібніші частини і так далі.

Логічний поділ ( утому числі і класифікація) має велике значення при вивченні будьякої науки, бо розчленовуючи обсяг поняття на окремі класи чи види, що мають і подібні, і відмінні ознаки, ми маємо можливість глибше вивчати поняття конкретної науки і зв’язки між ними.

Розглянемо означення понять

Поняття вводять за допомогою логічної операції означення.Особливу велику роль означення відіграють у математиці. Вони допомогають виділити даний предмет з множини інших об’єктів. Під означенням ми розуміємо таку логічну операцію, за допомогою якої розкривається зміст поняття. Отже, означити поняття – це перелічити всі істотні ознаки об’єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад ,

„кут”, „коло”, „переріз множини”терміни. Поняття, яке означується , називають означуваним, а те поняття чи групу понять, за допомогою яких вводиться означуване поняття , називають означуючими поняттями. Наприклад „Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні”. У цьому означенні „паралелограм” – означуюче, а „ромб” –означуване поняття.

У математиці існують різні види означень. Найпоширеніший з них – означення через найближчий рід і видову ознаку. Цей спосіб полягає в тому, що називаються, по перше, найближчий рід, до якого належить означуване поняття, і подруге, особлива ознака ( або кілька ознак) даного поняття, що характеризує його як один з видів зазначеного роду. У курсі шкільної математики існують такі означення :

„Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною в центрі цього кола” (тут „плоский кут” – родове поняття, а властивість вершини плоского кута лежати в центрі кола – видова ознака);

„Паралелограм – це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні” –(тут „чотирикутник” родове поняття, а властивість його протилежних сторін бути паралельними видова ознака);

„Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом” (тут поняття „призма” – родове, а властивість призми мати в основі паралелограм видова ознака) та інше.

Означення через найближчий рід і видову ознаку застосовується тоді, коли відомо, що означуване поняття є поняттям про предмет, який належить до одного з видів певного роду. При такому введені понять у самому означенні не вказується спосіб виникнення означуваного об'єкта. Але окремі означення можуть розглядати предмет і за способом його утворення або виникнення . При цьому ознаки змісту поняття розглядається як зумовлені самим способом виникнення предмета. Означення такого типу називаються генетичними ( від слова „генезис”, що означає „виникнення”). Прикладами таких означень у шкільній математиці є: „Бісектрисою кута –називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут пополам”; „пірамідою називається багатогранник, утворений усіма відрізками, які сполучають дану точку – вершину піраміди – з точками плоского багатокутника – основи піраміди” та інші. Генетичні означення задають можливий спосіб утворення предмета і водночас властивості цього предмета. Окремим видом генетичних означень є індуктивні означення.

Нові математичні поняття вводять також за допомогою описування їх властивостей. Такі означення називають дескриптивними, або дескрипціями. Однією з дескрипцій числа

може бути така: „ це число, яке будучи помноженим на довжину діаметра, дає довжину кола”.

Коли означення якогось поняття через рід і вид здійснити важко, то часто звертаються до такого виду означень, як означення через абстракцію.

Також означення поняття можно виконати через аксіому.Так, у шкільному курсі геометрії система аксіом дає можливість встановити співвідношення між такими основними поняттями, як „точка”, „пряма”, „площина”, і цим самим дати їм неявне означення.

Щоб поняття стало надійним інструментом пізнання, були коректними, їх означення потрібно будувати, додержуючи ряду вимог, порушення яких призводить до логічних помилок. Розглянемо ці вимоги.

1.Означення повинно бути співмірним, тобто обсяги означуваного і означуючого понять мають бути рівними між собою. Так, в означенні „квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні” обсяги означуваного поняття („квадрат”) і означуючого поняття („прямокутник, усі сторони якого рівні”) збігаються, усі квадрати є такими прямокутниками і всі такі прямокутники є квадратами. Означення, в якому вимоги співмірності не виконується, неправильне означення, тобто в ньому допущено логічну помилку. Наприклад, означення „Квадратом називається чотирикутник у якого всі сторони рівні” неправильне, бо воно неспівмірне: ромб теж рівносторонні чотирикутник. Помилковість цього означення полягає в тому, що за його допомогою не можна точно відрізнити квадрат від ромба.Таке помилкове означення, коли обсяг означуючого поняття більший від обсягу означуваного поняття називається занадто широким. Неспівмірне означення може бути й занадто вузьким. Так називається означення, коли обсяг означуючого поняття менший від обсягу означуваного поняття.

2.Означення не повинно містити в собі так званого порочного кола. Порочним колом називається такий спосіб означення, коли поняття начебто означується через інше поняття, однак це інше поняття може стати зрозумілим тільки через означуване поняття. Наприклад, якщо прямий кут означувати як кут, сторони якого взаємно перпендикулярні, а взаємно перпендикулярні

прямі – як прямі, що утворюють прямий кут, то виникнення порочного кола очевидне.

3. Означення не повинно бути лише заперечним.Заперечним називається таке означення, в якому задаються лише ознаки, що належать даному поняттю, але у книжці Евкліда „Начала” є таке означення поняття точки: „Точка це те, що не має частин”. З такого означення не можна дізнатия про істотні ознаки поняття точки. Тому це означення мало придатне для пізнання властивостей предмета. Це пояснюється тим, що точка – настільки простий і однорідний елемент простору, що доповнити його ознаками не вдається.

4. Родова ознака має вказувати на найближче ширше поняття. Напприклад, „Паралелепіпедом називається призма, основою якої є паралелограм” правильне, бо поняття „призма” є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”. Якщо б ми хотіли означити поняття „паралелепіпед” не через поняття „призма”, а через поняття „багатогранник”, то допустили б логічну помилку, бо перескочили б через поняття „призма”, яке є найближчим родовим поняттям щодо поняття „паралелепіпед”.

5. Видовою відмінністю повинна бути ознака або група істотних ознак, властивих тільки даному предметові і відсутніх в інших предметах, які належать до цього самого роду. Так, для родового поняття „трикутник” видовими поняттями є „прямокутний трикутник”, „гострокутний трикутник”, „тупокутний трикутник”. Означення „Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут” є правильним, бо відова відмінність „мати прямий кут” виконується тільки для прямокутних трикутників.