Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії (стр. 12 из 14)

В VII класі перед учителем стоять більш широкі задачі по вивченню й використанню геометричних побудов, у тому числі рішенню задач на побудову. Триває навчання виконанню деяких нових побудов і проводиться систематичне закріплення придбаних в VI класі вмінь; як і раніше, геометричні побудови використовуються при формуванні й закріпленні геометричних понять, а також для доказу існування деяких геометричних фігур.

Новими побудовами для учнів VII класу є: побудова центральносиметричних фігур, ділення відрізка на рівні частини, побудову окружності по трьох її крапках, ділення дуг окружності на рівні часта, ділення дуг і хорд окружності навпіл, проведення дотичної до окружності через дану крапку.

В VII класі триває формування вмінь учнів вибирати різні прийоми побудови залежно від умови задачі. Так, наприклад, перед ними може бути поставлене питання, яким способом вони будуть проводити через дану крапку дотичну до даної окружності, якщо:

а) крапка лежить поза окружністю й центр окружності невідомий,

б) крапка лежить на окружності й центр окружності невідомий,

в) крапка лежить на окружності, а центр окружності перебуває поза кресленням.

В VIII класі число нових побудов досить обмежене це ділення відрізка в даному відношенні, побудова фігур, подібних даним, побудова кутів за заданим значенням їхніх тригонометричних функцій і побудова правильних багатокутників. Таким чином, основна увага тут приділяється закріпленню раніше вивчених побудов і рішенню задач на побудову.

Продумуючи систему роботи з навчання школярів геометричним побудовам, особлива увага варто приділити методиці навчання рішенню задач на побудову.

Щоб знайти рішення, потрібно спочатку вивчити умова задачі, подивитися, які елементи шуканого трикутники дані. Для цього накреслимо довільний трикутник А1У1С1 (рис.3.7) і відзначимо елементи, що відповідають даним за умовою. Нехай це буде сторона А1С1 і кут З1А1У1. Але на кресленні немає різниці двох інших сторін. А тому що для рішення задачі ми повинні врахувати всі дані, то потрібно показати й різниця.

Рис. 3.7

Це можна зробити чотирма способами: на меншій стороні відкласти більшу від крапки З1 або від крапки В1 або на більшій відкласти меншу й знову відкладати як від крапки В1, так і від крапки А1. Якщо різниця буде біля крапки В1, то тоді дані не зв'язані між собою й не можна намітити план рішення. Якщо ж В1 А1 відкладемо від крапки В1 на В1С1, то дані: підстава, кут при підставах і різниця двох інших сторін – будуть зв'язані між собою, але й цей зв'язок не дає можливості намітити план рішення, вона недостатньо тверда, щоб побудувати, відновити фігуру Д2C1A1B1. Найкраще ввести різницю, відкладаючи B1D1 = B1C1, тому що в цьому випадку ми вже зможемо відновити фігуру З1А1Д1. Конкретизувавши в такий спосіб дані задачі, приступаємо до складання плану рішення.

Побудувавши в довільної прямий відрізок, дорівнює підставі, одержимо дві вершини трикутника: А1 і З1. Знаючи кут З1А1У1, ми можемо знайти й положення крапки D1, де D1А1 = В1А1 – В1С1. Залишається розглянути, як побудувати крапку В1 знаючи положення крапки D1. Тому що З1У1 = В1D1, то крапка В1 равноудалена від крапок З1 і D1, тому вона повинна лежати на перпендикулярі Р1Q1, проведеному до відрізка З1D1 через його середину. Крапка перетинання прямій Р1Q1 і лучачи А1D1 і буде крапкою В1. Отже, приходимо до наступної побудови. На довільній прямій відкладаємо відрізок, дорівнює підставі, і будуємо кут, рівний даному, одна зі сторін якого містить побудований відрізок, а вершина збігається з кінцем цього відрізка. На другій стороні кута відкладаємо відрізок, рівний різниці двох інших сторін трикутника, і будуємо геометричне місце крапок, равноудаленных від відповідних кінців підстав і побудованого відрізка. Крапку перетинання цього геометричного місця зі стороною кута, що містить різниця, з'єднуємо з кінцем підставі й одержуємо шуканий трикутник.

Із цього приклада видно, що при відшуканні рішення задачі на побудову, як і для арифметичних задач, застосовується аналітикосинтетичний метод. Після того як фігура побудована, необхідно встановити, чи задовольняє вона умовам задачі, тобто показати, що фігура, отримана з даних елементів певною побудовою, задовольняє всім умовам задачі. Виходить, доказ істотно залежить від способу побудови. Ту саму задачу можна вирішувати різними способами, залежно від наміченого при аналізі плану побудови, а тому, і доказ у кожному випадку буде своїм. Розглянемо задачу: «Побудувати трапецію по чотирьох сторонах» (рис.3.8).

Рис. 3.8

Провівши СК||ВА, рішення задачі зводимо до побудови трикутника КС по трьох сторонах: дві дорівнюють бічним сторонам трапеції (АК = КС), а КD = АD – ВР. Побудуємо трикутник КС, і, уважаючи сторону АD побудованої, доповнимо його до трапеції різними способами:

1) Проведемо ВС||А і, відклавши меншу підставу, з'єднаємо отриману крапку В с А Доказ зведеться до встановлення рівності: АВ = КС.

2) Якщо провести АВ||КС і ВС||А, те тоді вже треба довести, що АВ = КС і ВР = АК.

3) Якщо провести пряму СВ||DА й на ній знайти крапки В и В1, що відстоять від А на відстані, рівній бічній стороні, то в цьому випадку крапка В1 буде сторонньої й лише крапка В буде шуканої, причому доказ (ВР = АК) уже ускладнюється.

4) Якщо відшукувати крапку В, як крапку перетинання окружностей (А; АВ) і (З; СВ), те із двох крапок У и В2 тільки крапка В буде шуканою.

Третій і четвертий випадки підкреслюють необхідність доказу. В аналізі ми знаходимо необхідні умови, яким повинне підкорятися побудова, щоб одержати шукану фігуру. Треба ще встановити, що знайдені необхідні умови є й достатніми, тобто, що побудована фігура задовольняє всім вимогам задачі.

ВИСНОВКИ

Логічне мислення – це вивчення об’єкту чи явища природи поступово за моделю > “ознаки та поняття “ >” судження” > ” умовивід” з використанням 4х основних законів логіки: закону тотожності, закону суперечності; закону третього і закону достатньої підстави.

Структура геометрії – найбільш наближена до наведеного алгоритму логічного мислення, тому вивчення геометрії в шкільному курсі є процесом формування логічного типу мислення у учнів.

Взірцем учбового курсу геометрії з позицій логічного розвитку учнів є “Начала” Евкліда, в яких викладені основи планіметрії, стереометрії й арифметики. Головна особливість “Начал” у тому, що вони побудовані за єдиною логічною схемою, яку розробив Арістотель (384–322 рр. до н. е.).

Геометричне твердження за Евклідом, якщо воно повне, складається із шести логічно пов’язаних частин: 1) формулювання в загальних виразах; 2) постановка, яка відзначає конкретні дані, як правило, зображені у вигляді фігури; 3) визначення або вказівка (діорисмос), в якій вказується, що треба зробити або довести; 4) побудова, до якої входять додатки, необхідні для доведення; 5) саме доведення; 6) висновок, який повертається до формулювання і так само висловлюється в загальних виразах.

“Начала” починаються з означень, постулатів і загальних понять (п’ять постулатів і дев’ять аксіом), із яких Евклід розвинув всю геометричну систему виключно логічним шляхом на основі викладених 470 тверджень, побудованих чисто дедуктивним способом.

Аналіз сучасних підручників геометрії у школі показує, що потрібно ще раз повернутися до переробки системи викладання геометрії у школі, зосередивши послідовність викладення матеріалу у напрямку розвитку логічного мислення у учнів. При цьому, в підручниках необхідно ввести розділ „Логічна геометрія Евкліда”, оскільки вона, проіснувавши майже 2 тисячоліття, і в наш час є послідовним підручником для становлення системи логічного мислення.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., „Просвещение”, 1956. 64 с.

2. Гейдман Б.П. Площади многоугольников – М.: МЦНМО,2001. 24 с.

3. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М.: Просвещение, 1972. – 287 с.

4. Груденов Я.И. Психолого – дидактические основы методики обучения математики. – М.: Педагогика, 1987. – 160 с.

5. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, 2002. 120 с.

6. Зміст навчального матеріалу та державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів // Міністерстов освіти України, 2005

7. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., „Просвещение”, 1963. 572 с.

8. Кугай Н. В. Розвиток умінь старшокласників доводити твердження у процесі вивчення алгебри і початків аналізу. – Рукопис. // Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук – Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова. Київ, 2007.

9. Осинская Н.В. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. – К. : Рад. школа, 1989. – 192 с.

10. Середа В.Ю. Що означає мислити логічно. К.: „Р.Школа”, 1989. 175с.

11. Сверчевська І.А. Методична система вивчення геометричних тіл у загальноосвітній школі : дис... канд. пед. наук: 13.00.02 / Національний педагогічний унт ім. М.П.Драгоманова. — К., 2006. — 325арк.

12. Якиманская И.С. Знания и мышление школьников – М., Просвещение, 1985. – 240 с.

13. http://www.wikipedia.com – “Начала» Евклида, 2010

Додаток А

Зміст навчального матеріалу та державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів [6]

Таблиця А.1

7й клас. ГЕОМЕТРІЯ

Кть год.	Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
4	Тема 1. НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФIГУРИ ТА        ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Геометричні фігури. Точка, пряма, відрізок, промінь, кут та їх властивості. Вимірювання відрізків і кутів. Бісектриса кута. Відстань між двома точками. Вимірювальні, креслярські та допоміжні інструменти, що використовуються в геометрії.	Наводить приклади геометричних фігур. Описує точку, пряму, відрізок, промінь, кут. Формулює: означення: рівних відрізків, рівних кутів, бісектриси кута; властивості: розміщення точок на прямій; вимірювання відрізків і кутів. Знаходить довжину відрізка, градусну міру кута, використовуючи властивості їх вимірювання. Зображує за допомогою креслярських інструментів геометричні фігури, вказані у змісті. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
12	Тема 2. ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ НА        ПЛОЩИНІ Суміжні та вертикальні кути, їх властивості. Паралельні та перпендикулярні прямі, їх властивості. Перпендикуляр. Відстань від точки до прямої. Кут між двома прямими, що перетинаються. Кути, утворені при перетині двох прямих січною. Ознаки паралельності прямих. Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною.	Пояснює, що таке аксіома, теорема, означення, ознака. Наводить приклади геометричних фігур, вказаних у змісті. Зображує за допомогою лінійки і косинця паралельні й перпендикулярні прямі. Описує кути, утворені при перетині двох прямих січною. Формулює: означення: суміжних і вертикальних кутів, паралельних і перпендикулярних прямих, перпендикуляра, відстані від точки до прямої; властивості: суміжних і вертикальних кутів; паралельних і перпендикулярних прямих, кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною; ознаки паралельності прямих. Обґрунтовує взаємне розміщення вказаних у змісті геометричних фігур, спираючись на їх властивості. Доводить властивості суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих, перпендикулярних прямих, ознаки паралельності прямих. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
18	Тема 3. ТРИКУТНИКИ Трикутник і його елементи. Рівність геометричних фігур. Ознаки рівності трикутників. Види трикутників. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки. Висота, бісектриса і медіана трикутника. Ознаки рівності прямокутних трикутників. Властивості прямокутних трикутників. Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника та його властивості. Нерівність трикутника.	Описує зміст поняття “рівні фігури”. Наводить приклади рівних фігур. Зображує та знаходить на малюнках рівносторонні, рівнобедрені, прямокутні трикутники та їх елементи. Формулює: означення: різних видів трикутників; бісектриси, висоти, медіани трикутника; властивості: рівнобедреного і прямокутного трикутників; ознаки: рівності трикутників; рівнобедреного трикутника. Класифікує трикутники за сторонами і кутами. Доводить: ознаки рівності трикутників, ознаки рівності та властивості прямокутних трикутників, властивості й ознаки рівнобедреного трикутника, властивості кутів трикутника, властивість зовнішнього кута трикутника. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.
14	Тема 4. КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ Коло. Круг. Дотична до кола, її властивість. Коло, описане навколо трикутника. Коло, вписане в трикутник. Задача на побудову та її розв’язування. Основні задачі на побудову: — побудова трикутника за трьома сторонами; — побудова кута, що дорівнює даному; — побудова бісектриси даного кута; — поділ даного відрізка навпіл; — побудова прямої, яка перпендикулярна до даної пря мої. Геометричне місце точок. Метод геометричних місць.	Пояснює, що таке: задача на побудову; геометричне місце точок. Зображує на малюнках коло та його елементи; дотичну до кола; коло, вписане в трикутник, і коло, описане навколо нього. Описує взаємне розташування кола і прямої. Формулює: означення: кола, круга, їх елементів; дотичної до кола, кола, описаного навколо трикутника, і кола, вписаного в трикутник; властивості: серединного перпендикуляра, бісектриси кута, дотичної до кола, діаметра і хорди, точки перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника, точки перетину бісектрис кутів трикутника. Доводить властивості: дотичної до кола, існування кола, вписаного в трикутник, та кола, описаного навколо трикутника. Доводить правильність виконаних побудов для основних задач. Розв’язує основні задачі на побудову та нескладні задачі, розв’язання яких зводиться до основних побудов. Застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.

Таблиця А.2