Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії (стр. 11 из 14)
Отже SABC=1/2 AC x BH. Теорема доведена.
в) Площа трапеції
Теорема. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.
Рис.3.5 Дано: ABCDТрапеція, AD і BC основи, BHВисота
Довести: SABCD=1/2 (AD + BC) x BH
Доведення
Перекроїмо трапецію в трикутник. Для цього розріжемо її по відрізку BM, де M середина сторони CD.Трикутник BCM прикладемо до відрізка MD як показано на рис.3.5. Одержимо трикутник ABN рівноскладений із трапецією ABCD, а отже й рівновеликий , тобто SABN=SABCD
SABN=1/2 AN x BH, (3.1)
Але AN =AD + DN, а DN = BC.
Звідки AN=AD + BC.
Підставимо в (3.1), одержимо SABCD=1/2 (AD + BC) x BH. Теорема доведена.
г) Розрахунок площі несиметричного п'ятикутника методом побудови рівновеликого трикутника (рис.3.6).
Дано довільний 5кутник
[3]. 
Рис.3.6 Перебудова п’ятикутника в равновеликий трикутник
Перебудовуємо його в рівновеликий трикутник :
1.Будуємо діагональ AC, з'єднуючи точки A й C усередині багатокутника
2.Продовжуємо по стороні AE пряму FK
3.Через точку B будуємо пряму BF, що паралельна діагоналі AC.
4.Із точки C в точку F перетинання прямих BF і FK проводимо відрізок CF
5.Оскільки
й 
побудовані між паралельними прямими й мають загальну основу , тоїхні висоти однакові й дорівнюють відстані по перпендикуляру між паралельними прямими;
площі цих трикутників рівні, оскільки розраховуються як половина добутку висоти трикутника на його основу.
6.Через точки С й Eпроводимо другу діагональ п'ятикутника.
7.Через точку D будуємо пряму DK паралельну другій діагоналі СE
8. Із точки C проводимо відрізок CK у точку K перетинання прямих DK і FK.
9.Трикутник CED і побудований трикутник CEK розташовані між паралельними прямими CE й DK мають загальну основу CE – рівновеликі , тобто мають рівну площу.
10.Отриманий трикутник
є рівноскладеним і рівновеликим п'ятикутнику , оскільки: 
3.3 Роль практичного розв’язування геометричних задач
У процесі навчання математики задачі виконують різноманітні функції. Навчальні математичні задачі є дуже ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики, взагалі математичних теорій. Велика роль задач у розвитку мислення й у математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у фактичних застосуваннях математики. Рішення задач добре служить досягненню всіх тих цілей, які ставляться перед навчанням математиці. Саме тому для рішення задач використовується половина навчального часу уроків математики (700800 академічних годин в IVX класах). Правильна методика навчання рішенню математичних задач відіграє істотну роль у формуванні високого рівня математичних знань, умінь і навичок учнів [8].
Рішення математичних задач привчає виділяти посилки й висновки, дані й шукані, знаходити загальне, і особливе в даних, зіставляти й протиставляти факти. При рішенні математичних задач виховується правильне мислення, і насамперед учні привчаються до повноцінної аргументації. Рішення задачі повинне бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, пред'являється вимога повноти диз'юнкції (розгляд всіх випадків даної в задачі ситуації), дотримуються повнота й витриманість класифікації. При рішенні математичних задач в учнів формується особливий стиль мислення: дотримання формальнологічної схеми міркувань, лаконічне вираження думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.
Варто виділити кілька видів задач по їхній навчальній ролі.
1) Задачі для засвоєння математичних понять. Відомо, що формування математичних понять добре проходить за умови кропіткої роботи над поняттями, їх визначеннями і властивостями. Щоб опанувати поняття, недостатньо вивчити їх визначення, необхідно розібратися в змісті кожного слова у визначенні, чітко знати властивості досліджуваного поняття. Таке знання досягається, насамперед, при рішенні задач і виконанні вправ.
2) Задачі для оволодіння математичною символікою. Однієї із цілей навчання математиці є оволодіння математичною мовою й, отже, математичною символікою. Найпростіші символи вводяться ще в початковій школі й в IVV класах (знаки дій, рівності й нерівності, дужки, знаки кута і його величини, паралельності й т.д.). Правильному вживанню досліджуваних символів треба навчати, розкриваючи при рішенні задач їхню роль і призначення.
3) Задачі для навчання доказам. Навчання доказам одна з найважливіших цілей навчання математиці.
Найпростішими задачами, з рішення яких практично починається навчання доказам, є задачіпитання й елементарні задачі на дослідження. Рішення таких задач полягає у відшуканні відповіді на питання й доказі його істинності.
ЗадачіПитання звичайно вимагають для свого рішення (доказу істинності відповіді) установлення однієї імплікації, одного логічного кроку від даних до доказуваного. Доказ же при рішенні більше складної задачі або доказ теореми являє собою ланцюжок кроківімплікацій.
Метою рішення задачпитань є усвідомлення, уточнення й конкретизація досліджуваних понять і зв'язків між ними. ЗадачіПитання необхідні також для засвоєння учнями символики і використовуваної мови. Приклади задачпитань:
х > в. Чи обов'язково x2 > в2?
Чи можуть дві бісектриси трикутника бути перпендикулярними? А дві висоти?
Задачі є невід'ємною складовою частиною курсу геометрії в середній школі. Дійсно, позбавлений задач курс елементарної геометрії представляв би собою лише групу теорем розміщених більшменш послідовно. Користі від вивчення такого курсу дуже мало.
Як відомо, вправи в геометрії залежно від умови й завдання ділять на три групи: задачі на обчислення, доказ і на побудову.
У задачах на обчислення потрібно виразити невідомі величини (відрізки, кути, площі, об'єми) або їхні відносини через відомі параметри. Якщо параметри дані в загальному виді, то результат виходить у буквах; якщо ж умова містить числові значення параметрів, відповідь доводиться до числа.
У задачах на доказ необхідно встановити наявність певних співвідношень між елементами розглянутої фігури: рівність або нерівність відрізків, кутів, паралельність або перпендикулярність прямих, площин і т.д. Іноді задачі цього типу можуть бути оформлені і як задачі на обчислення; наприклад, довести, що деякий кут дорівнює 45°, що об'єм однієї фігури в стількито раз більше об'єму іншої фігури.
Менш поширені задачі на дослідження. У таких вправах результат заздалегідь не повідомляється. Потрібно з'ясувати чи лежить деяка крапка на даній прямій (на даній площині), чи перетинаються дані окружності, чи паралельні дані прямі й т.п., визначити, який з даних відрізків більше, до якій зі сторін трикутника ближче дана крапка, установити залежність між перерахованими в умову елементами фігури.
У задачах на побудову невідомі величини визначаються в результаті виконання ряду геометричних побудов (за допомогою припустимих геометричних інструментів або в обумовленій проекції). Як правило, мова йде про побудову геометричної фігури за деяким даними про неї. У стереометрії нерідко замість відрізків і кутів дається зображення (наприклад, піраміди), на якому потрібно виконати побудову(наприклад, знайти перетин), тобто елементи фігури задаються їхнім положенням (на проекційному кресленні).
Вирішуючи задачі на побудову, учні здобувають перші теоретичні й практичні основи «графічної грамотності», знайомляться з найбільш уживаними прийомами їхнього рішення, з інструментами, використовуваними в різних умовах роботи (при креслярськоконструкторській практиці, при розмітці, при виконанні побудов на місцевості). У них розвиваються просторова уява, конструктивні здатності, кмітливість, винахідливість, тобто такі якості, які необхідні працівникам багатьох професій.
Доведення правильності рішення задачі і її дослідження сприяють кращому засвоєнню учнями теоретичного матеріалу, розвитку їхнього логічного мислення.
Навчання учнів геометричним побудовам переслідує дві мети: навчання виконанню властиво геометричних побудов і навчання рішенню задач на побудову.
Природно, що кожному із цих питань у різних класах повинна бути приділене різна увага.
В VI класі основна увага звертається на навчання учнів виконанню найпростіших геометричних побудов і їхньому систематичному використанню при формуванні й закріпленні найважливіших понять: перпендикулярність і паралельність прямих, найголовніші лінії в трикутнику, симетрія відносно прямій і т.д.
До кінця VI класу учні повинні одержати вже досить міцні навички в рішенні ряду конструктивних задач, включених у програму VI класу, коштовних із практичної точки зору й необхідних для подальшого вивчення матеріалу.
До цих побудов відносяться різні прийоми побудови відрізка, рівного даному, масштабною лінійкою або циркулем і лінійкою (немасштабної); дії над відрізками (у тому числі ділення відрізка навпіл) за допомогою масштабної лінійки або циркуля й лінійки (немасштабної); наближене ділення кута навпіл циркулем; побудова кута, рівній даному, транспортиром або циркулем і лінійкою; побудова прямого кута креслярським трикутником; дії, вироблені над кутами малкою, транспортиром, циркулем і лінійкою (немасштабною); побудова паралельних і перпендикулярних прямих різними прийомами.