Викладення теми Трикутники по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи (стр. 3 из 5)

Задача 2.2 У трикутників

і . Доведіть, що .

Розв’язок. Нехай

і дані трикутники (рисунок 2.6).

Рис.2.6 До задачі 2.2 [8]

Побудуємо трикутник

, який дорівнює трикутнику , і трикутник , який дорівнює трикутнику .

Трикутники

й рівні по третій ознаці. У них за умовою задачі; тому що ; , тому що . З рівності трикутників і треба рівність кутів . Тому що за умовою , , а , по доведеному, то трикутники й рівні по першій ознаці.

3. Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки

Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.

На рисунку 3.1 зображений рівнобедрений трикутник

. У нього бічні сторони й , а основа .

Рис.3.1 До визначення рівнобедреного трикутника [8]

Теорема 3.1 (властивість кутів рівнобедренного трикутника)

В рівнобедренному трикутнику кути при основі рівні.

Доведення.

Нехай

- рівнобедрений трикутник з основою (див. рис.3.2). Доведемо, що в нього .

Рис.3.2 До доведення теореми 3.1 [8]

Трикутник

дорівнює трикутнику по першій ознаці рівності трикутників. Дійсно, З рівності трикутника треба, що .

Теорема доведена.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім.

Теорема 3.2 (ознака рівнобедреного трикутника).

Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.

Доведення. Нехай

- трикутник, у якому (рисунок 3.3).

Рис. 3.3 До доведення теореми 3.2 [8]

Доведемо, що він рівнобедрений з основою

.

Трикутник

дорівнює трикутнику по другій ознаці рівності трикутників. Дійсно, З рівності трикутників треба, що . Виходить, по визначенню трикутник рівнобедрений.

Теорема доведена.

Теорема (3.2) називається зворотньою теоремі (3.1). Висновок теореми (3.1) є умовою теореми (3.2). А умова теореми (3.1) є висновком теореми (3.2). Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, те зворотна теорема може бути невірна.

Теорема 3.3 (властивість медіани рівнобедреного трикутника).

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою й висотою.

Доведення. Нехай

- даний рівнобедрений трикутник з основою й - медіана, проведена до основи (рисунок 3.4)

Рис.3.4 До доведення теореми 3.3 [8]

Трикутники

й рівні по першій ознаці рівності трикутників. (У них сторони й рівні, тому що трикутник рівнобедрений. Кути Ð й Ð рівні як кути при підставі рівнобедреного трикутника. Сторони й рівні, тому що - середина відрізка )

З рівності трикутників витікає рівність кутів:

. Тому що кути Ð й Ð суміжні й рівні, те - бісектриса. Тому що кути Ð й Ð суміжні й рівні, то вони прямі, тому висота трикутника.

Теорема доведена.

Задача 3.1 Доведіть, що в рівностороннього трикутника всі кути рівні.

Рішення. Нехай

- даний трикутник з рівними сторонами: (рисунок 3.5).

Рис.3.5 До задачі 3.1 [8]

Тому що

, то цей трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Тому що , то трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Таким чином, , тобто всі кути трикутника рівні.