Выделение существенных признаков, зафиксированных в определении, и зафиксированных связей между ними называется логико-математическим анализом определения.
Существует подразделение определений на дескриптивные и конструктивные.
Дескриптивные – описательные или косвенные определения, имеющие, как правило, вид: «объект называется…, если он обладает…». Из таких определений не следует факт существования данного объекта, поэтому все подобные понятия требуют доказательства существования. Среди них выделяют следующие способы определений понятий:
· Через ближайший род и видовое отличие. (Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия).
· Определения-соглашения – определения, в которых свойства понятий выражаются с помощью равенств или неравенств.
· Аксиоматические определения. В самой науке математике используются часто, а в школьном курсе редко и для интуитивно ясных понятий. (Площадь фигуры – величина, численное значение которой удовлетворяет условиям: S(F)>0; F1=F2ÞS(F1)=S(F2); F=F1ÈF2, F1ÇF2=ÆÞS(F)=S(F1)+S(F2); S(E)=1.)
· Определения через абстракцию. Прибегают к такому определению понятия, когда другое трудно или невозможно осуществить (например, натуральное число).
· Определение-отрицание – определение, в котором фиксируется не наличие свойства, а его отсутствие (например, параллельные прямые).
Конструктивные (или генетические) – это определения, в которых указывается способ получения нового объекта (например, сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра). Среди таких определений иногда выделяют рекурсивные – определения, указывающие некоторый базисный элемент какого-либо класса и правило, по которому можно получить новые объекты того же класса (например, определение прогрессии).
· Требование научности.
· Требование доступности.
· Требование соизмеримости (объём определяемого понятия должен быть равен объёму определяющего понятия). Нарушение данного требования ведёт либо к очень широкому, либо к очень узкому определению.
· Определение не должно содержать порочного круга.
· Определения должны быть ясными, точными, не содержать метафорических выражений.
· Требование минимальности.
При формировании понятий необходимо организовывать деятельность учащихся по усвоению двух основных логических приёмов: подведение под понятие и выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию.
Действие подведения под понятиеимеет следующую структуру:
1) Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.
2) Установление логических связей между ними.
3) Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.
4) Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия.
Выведение следствий– это выделение существенных признаков объекта, принадлежащему данному понятию.
В методике выделяют три пути введения понятий:
1) Конкретно-индуктивный:
o Рассмотрение различных объектов как принадлежащих объёму понятия, так и не принадлежащих.
o Выявление существенных признаков понятия на основе сравнения объектов.
o Введение термина, формулировка определения.
o Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.
2) Абстрактно-дедуктивный:
o Введение определения учителем.
o Рассмотрение особых и частных случаев.
o Формирование умения подводить объект под понятие и выводить первичные следствия.
При введении понятия первым путём учащиеся лучше понимают мотивы введения, учатся строить определения и понимать важность каждого слова в нём. При введении понятия вторым путём экономится большое количество времени, что тоже не маловажно.
3) Комбинированный. Используется для более сложных понятий математического анализа. На основе небольшого числа конкретных примеров даётся определение понятия. Затем путём решения задач, в которых варьируются несущественные признаки, и путём сопоставления данного понятия с конкретными примерами продолжается формирование понятия.
В литературе выделяют три основных этапа изучения понятий в школе:
1. При введении понятия используется один из трёх вышеизложенных способов. Во время данного этапа нужно учесть следующее:
· Прежде всего, необходимо обеспечить мотивацию введения данного понятия.
· При построении системы задач на подведение под понятие обеспечить наиболее полный объём понятия.
· Важно показать, что объём понятия – не пустое множество.
· Раскрыть содержание понятия, работать над существенными признаками, выделяя несущественные.
· Помимо знания определения, желательно, чтобы учащиеся имели зрительное представление о понятии.
· Усвоение терминологии и символики.
Итогом данного этапа является формулировка определения, усвоение которого – содержание следующего этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объёму понятия.
2. На этапе усвоения определения продолжается работа над запоминанием определения. Достигаться это может с помощью следующих приёмов:
· Выписывание определений в тетрадь.
· Проговаривание, подчёркивание или какая-нибудь нумерация существенных свойств.
· Использование контрпримеров для выполнения правил соизмеримости.
· Подбор недостающих слов в определении, отыскание лишних слов.
· Обучение приводить примеры и контрпримеры.
· Обучение применения определения в простейших, но достаточно характерных ситуациях, так как многократное повторение определения вне решения задач неэффективно.
· Указать на возможность различных определений, доказать их эквивалентность, но для запоминания выбрать лишь одно.
· Учить конструировать определение, использовать для этого составление родословных, разъясняя логическую структуру; знакомить с правилами построения определения.
· Сходные пары понятий давать в сравнении и сопоставлении.
Таким образом, каждое существенное свойство понятия, используемое в определении, на данном этапе делается специальным объектом изучения.
3.Следующий этап – закрепление. Понятие можно считать сформированным, если учащиеся сразу узнают его в задаче без всякого перебирания признаков, то есть процесс подведения под понятие свёрнут. Достичь этого можно следующими путями:
· Применение определения в более сложных ситуациях.
· Включение нового понятия в логические связи, отношения с другими понятиями (например, сопоставление родословных, классификаций).
· Желательно показать, что определение даётся не ради его самого, а для того, чтобы оно «работало» при решении задач и построении новой теории.
2.1 Особенности познавательной деятельности
Восприятие. Школьник 5-6 классов обладает достаточным уровнем развития восприятия. У него высокий уровень остроты зрения, слуха, ориентировки на форму и цвет предмета.
Процесс обучения предъявляет новые требования к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур, упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по одному или двум свойствам этих фигур.
У школьников этого возраста появляется наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта характера.
Процесс формирования понятия – постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет чувственное восприятие объекта.
Память. Школьник 5-6 классов способен управлять своим произвольным запоминанием. Способность к запоминанию (заучиванию) медленно, но постепенно возрастает.
В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому необходимо учащихся учить правильно рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на понимании предлагаемого материала.
Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится более доступным запоминание абстрактного материала.
Внимание. Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при сформированности достаточно высокого уровня произвольного внимания.
Школьник 5-6 классов вполне может управлять своим вниманием. Он хорошо концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому нужно поддерживать интерес школьника к изучению математики. При этом целесообразно опираться на вспомогательные средства (предметы, картинки, таблицы).
В школе на уроках внимание нуждается в поддержке со стороны учителя.