Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы (стр. 8 из 12)

Докажем единственность отрицательного корня. Можно поступить следующим образом. Рассмотрим функции

.

Докажем, что если

, то . (Из этого будет следовать наше утверждение, поскольку в данном случае возрастает везде, где .)

Имеем

.

Значит,

при .

Утверждение доказано.

2. Найти все целые значения x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Область определения левой части неравенства

. Значит, нам достаточно рассмотреть три значения x: 1, 2, 3.

Если

, то левая часть равна .

Если

, то .

Если

, то .

Ответ. 1; 2.

3. Найти все целые x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Рассмотрим функцию

.

Докажем, что, начиная с некоторого x, f (x) возрастает. Это можно было сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых x, т.е. что

.

Имеем

.

Последнее неравенство выполняется при

, т.е. для всех допустимых целых x.

Нам осталось найти наибольшее целое, для которого

(или наименьшее, для которого ).

Докажем, что

. Далее, .

Ответ. -1, 0, 1, 2 [22].

Тригонометрические уравнения. К нестандартным следует отнести также уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1. Решить уравнение:

.

Решение. По определению обратных тригонометрических функций

. Найдем .

Эта задача сводится к следующей: «Найти cos α, если

и

( )».

Поскольку cos α>0, то

.

Получаем уравнение

, откуда . Получаем для x два значения:

.

Второе значение для x не подходит, поскольку

.

Ответ.

.

Замечание. Данное уравнение можно решить и иначе. Обозначим левую и правую части данного уравнения через y . Тогда

. Для y имеем тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному относительно

По смыслу задачи

, следовательно, , значит,

.

Не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций cos x и sin x .

2. Решить уравнение:

.

Решение. Поскольку

, то левая часть не

превосходит 3 и равна 3, если

.

Для нахождения значений x, удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них. Затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго:

.

Тогда

.

Понятно, что лишь для четных k будет

.

Ответ.

[2].

4. Найти в градусах корень уравнения:

, если

.

Решение. Уравнение является однородным второго порядка. Разделив обе части на

, получим уравнение , квадратное относительно . Решив его, найдем

По условию

, значит, . При этих значениях аргумента , следовательно, уравнение не имеет решения.

Из уравнения

находим . Значит, . Придавая значения , выбираем , удовлетворяющие условию . При получим .

Ответ.

[17].

Тригонометрические неравенства. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

, где ‑ одна из тригонометрических функций . При решении этих неравенств удобно использовать график соответствующей тригонометрической функции.

1. Решить неравенство:

.

Решение. Здесь должно выполняться условие

, т.е. . Произведем преобразования: