Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы (стр. 7 из 12)

Ответ. x = 1.

Итак, основная идея, на которой основывались решения этих двух примеров, весьма проста: если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = φ(x) имеет не более одного решения, причем если x = x₀ – решение этого уравнения, то при x > x₀ (x входит в область определения обеих функций f(x) и φ(x)) будет f(x) > φ(x), а при x < x₀ будет

f(x) < φ(x).

Стоит обратить внимание на одну модификацию этой идеи, а именно: если f(x) – монотонная функция, то из равенства f(x) = f(y) следует, что x = y [8].

3. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение:

.

Рассмотрим функцию

.

Докажем, что при t > 1 эта функция монотонно убывает. Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную

и доказать, что при t > 1

. Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид:

, значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 [13].

Уравнения вида f( f (x) ) = x. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x₀) = x₀, то f (f (x₀)) = f (x₀) = x₀.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x₀ такое, что f (f (x₀)) = x₀.Предположим, что f (x₀) ≠ x₀ и для определенности f (x₀) > x₀. Тогда f (f (x₀)) > f (x₀) > x₀, что противоречит предположению ( f (f (x₀)) = x₀). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения

и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы [22].

1. Решить уравнение:

.

Решени е. Перепишем уравнение

. Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или

.

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение:

.

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где

.

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение:

,

.

Ответ.

[14].

3. Решить систему уравнений:

.

Решение. Рассмотрим функцию

. Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки. Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:

.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0.

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых

при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:

.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем):

.

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что

.

Пусть для определенности x₅ > x₄, тогда из первых двух уравнений получим

, откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит,

, отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0);

.

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение

имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что

при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .