Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы (стр. 10 из 12)

Ответ.

[3].

3. При каких значениях параметра

квадратное уравнение

имеет корни одного знака?

Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение – квадратное, то

(иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта. Если , то квадратное уравнение имеет один корень (два равных корня).

Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то

, т.е. .

Решением последнего неравенства является

.

С учетом условий

и получим .

Ответ.

[7].

4. Для каждого неотрицательного значения параметра

решить неравенство

.

Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно

, так и относительно параметра . Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на , а затем сделать замену , то в новом многочлене максимальная степень параметра будет равна 2. Случай дает нам ответ . Будем теперь считать, что . Умножив обе части неравенства на и сделав замену , получим

.

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно

:

,

.

Раскрывая левую часть неравенства на множители, получим

,

или

.

Второй множитель положителен при всех

, если . Приходим к неравенству , откуда, если , ; если , ‑ любое. Возвращаясь к , получим ответ.

Ответ. Если

, то ;

если

, то ;

если

, то ‑ любое [21].

5. Найти все значения параметра

, при которых существует единственное значение

, при котором выполняется неравенство

.

Решение. Обозначим

( ) и перейдем к основанию 5. Получим:

.

Функция от

, расположенная в числителе, монотонно убывает. Нетрудно подобрать значение , при котором она обращается в нуль: .

Если

, то решением неравенства относительно будет , а следовательно, исходное неравенство не может иметь единственного решения. (Неравенство при любом имеет бесконечно много решений.)

Значит,

и решением относительно будет . Возвращаясь к , будем иметь . Для того чтобы существовало единственное значение , удовлетворяющее последним неравенствам, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение квадратного трехчлена равнялось бы 4, т.е. .

Ответ.

[5].

6. Найти все значения

, при каждом из которых множество решений неравенства

не содержит ни одного решения неравенства

.

Решение. Нам надо найти все

, такие, что при всех имеет место неравенство . Решение последнего неравенства при данном относительно состоит из двух лучей, исключается внутренняя часть отрезка с концами и (какой из них левый, а какой правый‑неважно). Но если меняется от ‑1 до 1, то меняется от 0 до 1, а меняется от 1 до 3. Теперь понятно, что не может принимать значения от 0 до 3, а при всех или заданное условие выполняется.