Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы (стр. 4 из 6)

1. Каждый отрезок, кроме первого, лежит внутри предыдущего.

2. Длины отрезков стремятся к 0(или нет отрезка, лежащего внутри всех отрезков этой последовательности).

Существование точки лежащей внутри всех отрезков этой последовательности, и постулируется аксиомой Кантора.

Приняв аксиому Кантора, мы находим искомую точку М, а следовательно и отрезок ОМ, длина которого равна наперед заданному числу х.

2.2 Методика изучения величин углов в курсе геометрии средней школы

При изучении величин углов можно использовать следующую схему:

Общий обзор углов – углы с общей вершиной – градусное измерение углов.

В учебной методческой литературе угол определяется по разному:

1. Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общей точки.[10, стр. 9],[6,стр 12]

2. Угол есть неопределенная часть плоскости, заключенная между двумя лучами, выходящими из общей точки. [9, стр.8],[2,стр85-86]

3. Угол есть совокупность лучей, выходящих из общей точки и пересекающих данный отрезок. [3, стр. 86]

4. Углом называется «часть пучка лучей, ограниченная двумя лучами (того же пучка), подобно тому как отрезок есть часть прямой линии, ограниченная двумя точками. [2, стр86]

5. Углом называется совокупность точки и двух лучей, выходящих из этой точки... Под точками угла мы понимаем его вершину и все точки его сторон. [16, стр18]

В школьной практике обычно употребляются первое или второе определение (по существу они являются не определениями, а описаниями).

При этом надо заметить, что если используется первое определение угла, то вводится еще и понятие внутренней области угла.

В последующем школьном курсе элементарной математики понятие угла расширяется (в тригонометрии - угол как мера вращения, в стереометрии — угол между двумя скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и т. п.), причем понятие «неопределенной части плоскости» в явном виде уже не фигурирует. Поэтому первому определению следует отдать предпочтение.

Возможны следующие действия с величинами углов: сравнение, сложение вычитание величин углов, умножение угла на челое цисло и деление угла на целые части.

С понятиями прямого и развернутуго угла учащиеся знакомы из пропедевтического курса геометрии. Зная, что все развернутые углы равны между собой, и все прямые углы равны между собой, можно сообщить учащимся о том, что развернутый и прямой углы имеют постоянные величины (как и метр и килограмм, которые тоже имеют постоянную величину). Отсюда, естественно принять за единицу измерения углов угол, в часности прямой угол, как имеющий постоянную величину.

Величина угла – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) равные углы имеют равны градусные меры.;

2) если угол разбивается на части, градусные меры которых известны, то градусная мера всего угла равна сумме грусных мер этих углов.

3) меньший угол имеет меньшую градусную меру, и больший угол имеет большуюградусную меру.

При проведении уроков по теме «Величины углов» материал должен закрепляться на частных примерах. Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.

2.3 Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы

В теме «Площади фигур» наблюдается синтез традиционно-синтетического и аналитического методов. Изучаемые здесь факты носят аналитический характер (например площадь треугольника), а доказательства основаны на применении традиционно-синтетического метода.

При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема:

простая фигура – площадь фигуры как величина – площадь прямоугольника – площадь параллелограмма – площадь трапеции – площадь подобных фигур.

Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую ломаную, замкнутую ломаную, простую замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский пятиугольник. Напомним, что из определения треугольника как фигуры состоящей из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки следует, что он должен представляться как «скелет», «каркас»! Плоский треугольник – конечная часть плоскости, ограниченная треугольником. Выпуклый многоугольник – многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. После этого дается определение:

Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Примером простой фигуры может служить плоский выпуклый многоугольник, который разбивается на плоские треугольники диагоналями, выходящими из одной вершины.

«Площадь простой фигуры – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;

В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно.

С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Измеряя площади при помощи памятки, школьники познакомились с оценкой ее по недостатку и по избытку. И таким образом они уже подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника.

Первоначально доказываем следующее свойство: площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.

а) Прямоугольники ABCD и AB1C1D имеют равное основание AD. Пусть S и S1 – их площади. Разобьем сторону АВ на n равных частей, длина одной части равна

. Пусть m – число точек деления, лежащих на стороне АВ1. Тогда: ≤

Разделив это неравенство почленно на АВ, получим:

б) Проводим через точки деления прямые, параллельные АD. Получим n равных треугольников со сторонами АD и

, площади которых (по св-ву 1) равны и принимают значение . Поэтому, площадь АВСD выражается неравенством:

.

Разделив почленно на S, получаем:

в) Отношение

и удовлетворяют одним и тем же неравенствам, причем числа и отличаются на величину .При сколь угодно больших n значение становится очень малым, а это возможно только тогда, когда числа равны. Итак: