Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы (стр. 2 из 6)

1.2 О роли и месте величин, их измерений в процессе обучения

Длина, площадь, масса, время, объём - это величины. О возрастании роли величин в познании природы говорит тот факт, что они проникают и являются составной частью таких традиционно "нематематизированных" наук, как биология, психология, педагогика, социология и др. Но для математики и физики понятие величины является наиболее характерным.

Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Характерным общим понятием для всех моделей является понятие "величина".

Каждый объект имеет много различных свойств, которые отражены в соответствующих величинах.

Свойство объекта	Соответствующая величина
инертность	масса
пространственная протяженность	длина
препятствие прохождению электрического тока	сопротивление

Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений. В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины - это не сама реальность, а лишь ее отображение. Но практика показывает, что величины верно отражают свойства окружающей действительности. В самой природе нет сил, скоростей, импульсов и т.д.; величины используются в ходе познания для описания явлений природы.

Различают несколько видов величин: скалярные, векторные, тензорные. В школьном обучении нашли широкое применение скалярные и векторные величины.

Величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, т.е. математизировать знания о природе.

По словам С. Богданова [4], понятие величины является основополагающим не только в отдельных науках, но и в реальной, повседневной жизни. Поэтому понятие должно иметь единое содержание как в школьных учебниках, так и в реальной практике. Но силу того, что понятие величины является первичным, четкого, строго определения оно не имеет, поэтому трактуется по-разному. В школе оно вводится, как правило, описательно, на примерах величин, известных ученикам из практики, окружающей действительности.

Анализ учебной и научной литературы о величинах позволяет выделить два аспекта величин:

1. величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объекта, то есть математизировать знания об объекте;

2. в количественном описании величина представляется не только числом, но и единицей измерения.

К трактовке понятия величины существует несколько подходов.

I. Геометрические величины могут трактоваться как действительные числа, которые характеризуют геометрическую фигуру с точки зрения ее размеров - длин отрезков, величин углов, площади и объема.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие.

Важно заметить, что для характеристики значения одних величин достаточно числа (н-р, площадь, объем), а значение других величин характеризуется еще и направлением (н-р, скорость).

Геометрические величины, изучаемые в школе, являются скалярными аддитивными величинами. Каждая из них может быть определена аксиоматически, что сделано практически во всех школьных учебниках геометрии:

1. формулируется неотрицательность (иногда - положительность) величин;

2. показывается равенство соответствующих величин для равных геометрических фигур;

3. формулируется свойство аддитивности.

Таким образом, с помощью 1)-3) определяется сама величина, а не ее значения. Для нахождения числовых значений геометрических величин требуется введение еще одной аксиомы:

4)существует единица измерения (отрезок длиной 1, квадрат площадью 1, куб объема 1, угол, величина которого 1).

II. С точки зрения теории множеств, все геометрические величины являются примерами одного из основных определяемых аксиоматически общематематических понятий - меры множества. Пусть дано некоторое семейство множеств А, В, С, …, являющихся подмножествами некоторого универсального множества У. Говорят, что на этом семействе множеств определена мера, если каждому из них поставлено в соответствие некоторое действительное число m(A), удовлетворяющее аксиомам:

1)m(A)≥0, m(A) = 0 тогда и только тогда, когда А - пустое множество;

2)среди данных множеств существует такое множество Е, что m(E) = 1;

3)равные множества имеют равные меры: (А=В) следует, что (m(A) = m(B));

4)мера двух непересекающихся множеств А и В равна сумме мер данных множеств m(A)+m(B);

5)если m(A) = m(B), а m(В) = m(С), то m(A) = m(С).

Легко проверить конкретный смысл этого определения для понятий длины отрезка, величины угла, площади фигуры, объема тела.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека. Роль и значение измерений в процессе развития естественных и технических наук непрерывно возрастает, так как растет число и качество различных измерений величин.

Существует два основных способа измерения геометрических величин:

· непосредственное;

· косвенное.

Непосредственное измерение - сравнение данной величины с выбранной единицей измерения - основано на 1-й и 2-й аксиомах меры , соответствует первоначальному наглядному представлению, например, о длине отрезка как числе, показывающему, сколько раз единица длины или ее часть укладывается (содержится) в этом отрезке, и состоит в выполнении следующих шагов:

1.Выбрать единицу измерения (это можно сделать на основе 2-й аксиомы).

2.Сравнить данное множество с единицей измерения; число (на основе 1-й аксиомы), показывающее, сколько раз единица измерения содержится в данном множестве, есть его мера (длина отрезка, величина угла, площадь фигуры, объем тела).

Таким образом, в результате измерения величины находят некоторое число х которое называют числовым значением данной величины а при единице измерения е:

а = х · е, где х - число. Следовательно, величина задается с помощью чисел и единиц измерения. Например, 7 кг = 7·1кг, 12 см =12·1 см, 15ч =15·1ч.

Кроме того, определив умножение величин можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

3.Можно убедиться, что полученное таким образом число удовлетворяет аксиомам 3-5 и дает возможность выполнять сравнение, сложение, вычитание, умножение и деление на число измеряемых множеств и их мер.

Говоря о геометрических величинах, следует четко различать саму геометрическую фигуру, величину, и числовое значение этой величины. Например:

Геометрическая фигура	Величина	Значение величины
Отрезок АВ: А В	Длина отрезка АВ: АВ = 4 см	Числовое значение длины отрезка АВ:4

Отличие длины отрезка от числового значения длины в том, что первое остается неизменным, а второе зависит от выбранной единицы измерения. [11]

Для практической реализации непосредственного измерения единица измерения наносится на материальные носители и получаются измерительные приборы: масштабная линейка, транспортир, палетка и др.

Заметим, что способ непосредственного измерения не всегда удобен (например, для измерения площади палеткой) и даже не всегда осуществим (например, для измерения объема). Поэтому используют косвенное измерение геометрических величин, которое состоит в том, что непосредственно измеряются только величины тех элементов геометрических фигур - отрезков, углов, для которых это сделать легко и практически удобно, а площадь и объем затем вычисляются на основе аксиом меры с помощью специально установленной зависимости между всеми геометрическими величинами данной фигуры.

Ниже рассматриваются методы установления такой зависимости, называемые методами косвенного измерения геометрических величин.

1)Метод равновеликости равносоставленных фигур, используемый для определения геометрических величин многоугольников и многогранников, основан на 3-й и 4-й аксиомах (конкретизируемых как свойства площадей и объемов) и следующей из них теореме: равносоставленные фигуры равновелики (две фигуры называются равновеликими, если их площади или объемы равны; две фигуры называются равносоставленными, если каждую из них можно разбить на соответственно равные части). Для многоугольников, в частности, справедлива и обратная теорема: равновеликие многоугольники всегда равносоставлены.

Примерами применения этого метода являются доказательства формул площади параллелограмма (преобразованного в прямоугольник), трапеции (достроенного до треугольника), формул объема призмы; геометрическая иллюстрация законов действий над числами и формул тождественных преобразований (последние, в частности могут быть использованы для вывода формулы площади прямоугольника на основе известной формулы площади квадрата).

2) Метод предельного перехода основан на определении геометрических величин некоторых фигур, которые не могут быть определены и измерены непосредственно (длина окружности или дуги) или составлены из многоугольников (площадь круга) или многогранников (площади боковой поверхности и объемы круглых тел) как предела последовательности соответствующих значений геометрических величин, вписанных в данную фигуру или описанных около нее фигур при неограниченном увеличении числа определяющих их элементов (например, сторон многоугольников).