Найбільшою перевагою радіанної міри – для малих кутів, виміряних у радіанах, виконуються наближені рівності

,

. Справді, нехай

=3°. Оскільки 3°=0,0524 радіана, а sin 3°=0,0523, то справедлива наближена рівність sin 0,0524=0,0523. Для градусної міри рівність sin3°=3 не має смислу. Цю властивість радіанної міри широко застосовують у математичному аналізі та інших науках.
Практика свідчить, що виведення формул переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки не спричинює труднощів в учнів. Помилок вони припускаються, здебільшого заокруглюючи наближені значення, отримані під час застосування згаданих формул.
2.2 Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу
Насамперед потрібно згадати означення тригонометричних функцій кута і поширити їх на будь-яку градусну міру, ввести кут повороту. Крім того, слід переконати учнів, що існує відповідність між множиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола, для чого попередньо виконати таку вправу.
Приклад 1. Позначити на одиничному колі точки

, в які відображується початкова т.Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут

радіанів, якщо

,

,

,

,

,

(Рис.2.2).
Розв'язання. За

із формули довжини дуги, вираженої через радіанну міру, випливає

, де

– радіанна міра центрального кута і відповідної йому дуги. Це означає, що числове значення довжини дуги збігається з числовим значенням її радіанної міри.
Оскільки т.

, в яку відображається т.Р0(1;0), лежить на перетині осі у з колом і

,

, то т.

, в яку відображається Р0(1;0), лежатиме на колі між точками

і

. Точки

і

містяться на колі в 4-й чверті симетрично точкам

і

відносно осі

.
Числу

відповідає точка початок Р0 (1;0) – початок відліку дуг на одиничному колі, числу

– т.

, яка є кінцем дуги, що дорівнює двом дугам

.
Розв'язуючи цю вправу, небажано переходити від радіанної міри до градусної, хоч учням легше замінити 1 рад на 57°, а

рад – на 90° і відшукати т.

на дузі кола. Важливо навчити учнів знаходити відповідні точки на колі для кутів, заданих радіанною мірою, оскільки метою є ввести поняття тригонометричної функції довільного числа.
На завершення розв'язування цієї вправи доцільно розглянути координатну вісь, яка є дотичною до одиничного кола в т.Р0(1;0), має початком відліку цю точку й одиницю відліку, що дорівнює радіусу одиничного кола. Якщо намотувати цю координатну вісь на одиничне коло, то наочно виявляється відповідність між множиною R дійсних чисел і множиною точок одиничного кола.
Увагу учнів звертають на те, що кожній т.

на одиничному колі відповідають її абсциса й ордината, які також залежать від числа

. Тому маємо ще дві залежності між дійсним числом і абсцисою та ординатою відповідної т.

, в яку відображується початкова т.Р0(1;0) одиничного кола при повороті навколо центра кола на кут

радіанів. Отже, існують відповідності між множиною дійсних чисел і множиною абсцис і ординат т.

одиничного кола. Ці залежності (відповідності) дістали назву тригонометричних функцій числа або тригонометричних функцій числового аргументу.
Означення 1. Синусом числа

називають ординату точки

одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут

радіанів. Його позначають

.
Означення 2. Косинусом числа

називають абсцису точки

одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р0(1;0) при
повороті навколо центра кола на кут

радіанів. Його позначають

.
Означення 3. Тангенсом числа

називають відношення

, а котангенсом числа

– відношення

, їх позначають відповідно

,

.
Отже, за означенням,

,

.
Оскільки кожному дійсному числу

можна поставити у відповідність дійсні числа

і

, то вважатимемо, що на множині R задано функції

,

. Враховуючи, що

визначений для всіх

, крім тих, за яких

, і кожному дійсному числу, крім

, відповідає єдине число

, вважатимемо, що

– функція, областю визначення якої є всі дійсні числа, крім

.
Міркуючи аналогічно, можна зробити висновок, що функція

областю визначення має множину всіх дійсних чисел, крім.

Для побудови графіків функцій

,

і для розв'язування деяких задач доцільно запровадити поняття лінії тангенсів і лінії котангенсів.
Послуговуючись означеннями 1 – 3, потрібно колективно дослідити характер зміни значень кожної з тригонометричних функцій та їхніх знаків.