Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе (стр. 8 из 19)

2.4 Алгебра событий

После того как учащиеся познакомятся с элементарными понятиями теории вероятностей: события, достоверные и невозможные события, противоположное событие, несовместные события, независимые события – и научатся вычислять вероятность события на основе классического определения вероятности, полезно потренировать школьников в употреблении терминов, относящихся так называемой алгебре событий. При этом имеет смысл установить связь между алгеброй событий и алгеброй множеств. Понятие множеств учащимся интуитивно ясно. Не вызывает трудности и тренировка в операциях над множествами: включение, объединение, пересечение, дополнение. Представления об этих операциях лежат в основе всей математики и, в частности, в основе теории вероятностей. Достаточно посвятить им одно - два занятия, и учащиеся уже хорошо ориентируются в операциями над множествами. Теоретико-множественные представления можно призвать на помощь при обучении языку алгебры событий [23].

Для того чтобы установить параллель между языком теории множеств и языком алгебры событий, полезно составить вместе с учащимися таблицу, которая приведена ниже.

С помощью таблицы и рисунка целесообразно разобрать с учащимися задания по тематике, описывающей ряд однотипных испытаний. Но сначала необходимо ввести обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Представим себе три одинаковые урны, в каждой из которых лежат неразличимые на ощупь белые и черные шары.

Обозначения	Интерпретация Теории множеств Теории вероятностей
Ω	Элемент, точка	Исход, элементарное событие
	Универсальное множество, т.е. множество всех рассматриваемых точек	Достоверное событие исходов, т.е. множество всех элементарных событий
Ø	Пустое множество	Невозможное событие
A,B	Подмножество универсального множества	Случайное событие
A=B	Подмножества А и В равные	События А и В равносильные
A B	Объединение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих или в А, или и В	Событие, состоящее в том, что произошло А или В
A+B	Сумма множеств, т.е. объединение непересекающихся множеств	Событие, состоящее в том, что произошло одно из несовместных событий либо А, либо В
A B;AB	Пересечение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих и в А, и в В	Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события А и В
A B= Ø	Множество А и В не пересекаются	События А и В несовместны( не могут наступать одновременно)
A\B	Разность множеств А и В, т.е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В	Событие, состоящее в том, что произошло А, но не произошло В
A∆B	A∆B=(A\B) (В\А)	Событие, состоящее в том, что произошло одно из событий А или В, но не оба одновременно

Рассматриваются такие события (гипотезы):

H₁ - выбрали первую урну,

H₂ - выбрали вторую урну, A - вынули из урны белый шар,

H₃ – выбрали третью урну,

- вынули из урны черный шар

Задача 1. Запишите с помощью символов следующие события.

1) выбрали либо первую, либо вторую урну;

2) выбрали какую – то одну урну;

3) выбрали не первую урну;

4) белый шар вынули из второй урны;

5) черный шар вынули из третей урны;

6) белый шар вынули не из первой урны;

7) из какой – то урны выбрали черный шар.

Ответ. 1) H₁+H₂;

2) H₁+H₂+H₃;

3)

= H₂+H₃;

4) A H₂;

5)

;

6) A

=A(H₂+ H₃);

7)

( H₁+H₂+H₃).

Задача 2. Дайте словесное толкование следующим событиям:

1. а) AH₁; б)

H₂; в) .

2. а) AH₁+AH₂+AH₃; б)

H₁+ H₂+ H₃.

3. а) (A\H₁)

(H₁\A); б)( \H₂) (H₂\ ).

Ответ.1. а) Белый шар вынули из первой урны;

б) черный шар вынули из второй урны;

в) черный шар вынули не из третьей урны

2. а) Белый шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;

б) черный шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;

3. а) Либо вынули белый шар не из первой урны, либо из первой урны вынули черный шар;

б) либо вынули черный шар не из второй урны, либо из второй извлекли белый шар.

Задача 3.установите, верны ли равенства:

а) H₁+H₂+H₃=W;

б) А+

=W;

в) А

= Ø – и дайте им словесное толкование.

Ответ. Все равенства верны.

а) выбрали либо первую, либо вторую, либо третью урну. По условию испытания это событие достоверное;

б) достоверное, что вынули либо черный, либо белый шар;

в) вынутый шар не может быть одновременно и белым и черным.

На этом этапе, когда язык алгебры событий учащимися достаточно усвоен, вводятся теоремы сложения и умножения вероятностей, после которых следуют приведенные ниже упражнения.

Задача 4. Известно, что в каждой из трех урн число белых шаров равно числу черных (например, см. рисунок). Подсчитайте указанные ниже вероятности при условии, что шар извлекается наугад из наугад выбранной урны.

1.P(H₁), P(H₂), P(H₃).

2.P(H₁+H₂+H₃).

3.P(A), P(

).

4.P(AH₃),P(

H₁).

Ответ. 1. P(H₁)= P(H₂)= P(H₃)=

- вероятность того, что выбрана первая (вторая, третья) урна.

2. P(H₁+H₂+H₃)=

+ = =1 – вероятность того, что выбрана одна из урн, равна вероятности достоверного события, т.е. 1.

3.P(A)= P(

)= - вероятность того, что будет вынут белый (черный) шар.

4. P(AH₃)=P(

H₁)= * = вероятность того, что будет извлечен белый шар из третьей урны (черный шар из первой урны).

Следующий этап - изучение условной вероятности, т.е. вероятности события А, если известно, что оно может наступить, если прежде произошло одно из событий H_1,H_2,H_3.

В этом месте также необходимо потренироваться в правильном употреблении терминов и символов.

Задача 5. Запишите словами, в чем состоят указанные ниже события, и вычислите их вероятность.

а) A\H₁; б)

\H₂; в) \ .

Ответ. а) выбрали первую урну, а затем из нее извлекли белый шар,

P(A\H₁)=

б) выбрали вторую урну, а затем из нее вынули черный шар,

P(

\H₂)= ;

в) выбрали первую либо вторую урну, а затем из какой –то из них достали черный шар,

P(

\ )=