Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе (стр. 6 из 19)

- выпало два очка,

- выпало три очка,

- выпало четыре очка,

- выпало пять очков,

- выпало шесть очков.

Исходы

, , благоприятствуют событию А, и от них проведены стрелки к точке, изображающей это событие.

Для одного и того же испытания можно задать разные множества исходов. Например, если принять за событие А – выпадение нечетного числа очков при подбрасывании игрального кубика, а за событие В – выпадение четного числа очков, то грани с нечетным числом очков 1,3 и 5 становятся неразличимыми, так же как не различаются грани с четным числом очков 2,4 и 6. Отказ от различимости граней приводит к сокращению числа исходов при подбрасывании игрального кубика с шести до двух: е₁¹ - А, е₂¹ – В.

За исходы испытания можно принять и изображенные на рис.2 события С,D и K. Тогда число исходов при подбрасывании кубика будет равно трем.

Рис. 2.

Очевидно, что существует множество других вариантов задания исходов при подбрасывании кубика. Множество исходов испытания, которое содержит максимальное число возможных исходов, называется базовым множеством, а все остальные множества исходов, полученные из базового путем объединения его исходов, - сокращенным. При подбрасывании игрального кубика базовое множество насчитывает шесть элементов (е₁ ,е₂ ,е₃ ,е₄ ,е₅ ,е₆ ), а сокращенные множества могут содержать от двух до пяти элементов.

Понятие базового и сокращенного множества исходов удобны при рассмотрении урновых испытаний. Пусть, например, из урны с тремя белыми и четырьмя черными шарами наугад извлекают шар.

Если бы все семь шаров были бы пронумерованы, т.е. различимы, то можно было бы говорить о базовом множестве исходов этого испытания, насчитывающем семь элементов. Но шары одного и того же цвета неразличимы. Поэтому в таком испытании задается сокращенное множество исходов: е₁ – Б(достали белый шар),е₂ – Ч(достали черный шар). Указанные исходы, по сути, являются событиями. Первому событию благоприятствуют три исхода из базового множества, связанные с извлечением белых шаров, а второму – четыре исхода из базового множества, связанные с извлечением черных шаров.

С помощью графических изображений удобно объяснять совместность и несовместность событий, а также их противоположность. Если в ходе испытания совместное осуществление событий А и В невозможно, то события А и В называются несовместными. В этом случае ни один из исходов испытания не благоприятствует одновременному появлению события А и события В. Если же в ходе испытания не благоприятствует одновременному появлению событий А и В возможно, то события А и В называются совместными, и, по крайней мере, один из исходов испытания благоприятствует одновременному появлению этих двух событий [24].

Пример 3. Укажите, какие из изображенных на рис.3 событий являются совместными, а какие – несовместными.

Решение. События А и В – совместные (общий исход е₃), А и С – совместные (общий исход е₁ и е₃ ), В иС – несовместные ( нетобщих исходов).

Рис. 3.

Если события А и В несовместные, и при любом исходе испытания наступает одно из этих событий, то события А и В называются противоположными и обозначаются как А=

, B= .

Пример 4. Из урны, где лежат шесть пронумерованных подряд шаров с номерами с 1 по 6, наугад извлекают один шар. Изобразите графически события: А – извлекли шар с номером, кратным трем,

- событие, противоположное А. Решение. Базовое множество содержит шесть элементов (рис. 4): е₁– извлечен шар № 1, е₂ – извлечен шар № 2,

е₃ – извлечен шар № 3, е₄– извлечен шар № 4

е₅ – извлечен шар № 5, е₆– извлечен шар №6.

Появлению события А благоприятствуют два исхода – е₃, е₆ , остальные благоприятствуют

.

Рис. 4.

2.3 Классическое и статистическое определение вероятности

В рассматриваемом курсе для испытаний со счетным числом исходов можно использовать классическое и статистическое определение вероятности. Однако трудно не согласиться с венгерским математиком А. Реньи, отметившим, что классическое определение вероятности не является определением, а дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях. Поэтому в предлагаемом курсе, сначала вводится статистическое определение вероятности, а затем для случаев, когда есть симметрия исходов испытаний, дается ее классическая формула.

В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в настоящем курсе приводится как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями. При введении статистического определения вероятности рекомендуется провести лабораторную работу, состоящую в подбрасывании монеты или игрального кубика. В ходе этой лабораторной работы школьники самостоятельно могут убедится в действии этого закона: с увеличением числа подбрасываний значение статистической частоты выбранного для наблюдения исхода (например, выпадение «орла» на монете, или четырех очков на кубике) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p, которое и называется вероятностью наблюдаемого исхода или события.

Внимание учащихся следует обратить на то, что на практике статистические испытания и наблюдения являются основным способом оценки вероятностей событий. При этом всегда возникает вопрос о точности такой оценки, поскольку не всегда возможно проведения достаточно большого числа экспериментов и наблюдений. В случае симметрии исходов испытания (подбрасывания симметричной монеты и игрального кубика, урновые испытания) вероятности исходов полагают равными друг другу. Тогда вероятность любого события А равна

, где m – число всех исходов испытания, l - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Статистическое определение вероятности удобно для введения аксиом.

1. Вероятность исходов испытаний положительна.

2. Сумма вероятностей всех исходов испытания равна единице e₁,e₂,...,e_mp₁+p₂+...+p₃=1. (1)

3. Вероятность случайного события равна сумме вероятностей исходов испытания, благоприятствующих этому событию, т.е. если е₁,...,е_к – множество всех исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, то

P(A)=p₁+...+p_k. (2)

В качестве оснований для этих утверждений приводятся очевидные факты, связанные со статистическими испытаниями.

1. Статистическая частота исхода испытания положительна.

2. Сумма статистических частот всех исходов испытания в серии из N повторных экспериментов равна единице:

Здесь n₁,n₂,...,n_m – число появлений исходов e₁,e₂,...,e_m в проведенной серии испытаний.

3. Статистическая частота случайного события равна сумме статистических частот исходов испытания, благоприятствующих этому событию.

Для закрепления материала необходимо рассмотреть решения следующих типов задач.

Пример 1. В некотором испытании возможны три исхода e₁,e₂,е₃. Вероятность исхода е₁ равна 0,3, а исхода е₃ – 0,6. Чему равна вероятность появления исхода е₂?

Решение.p₂=1-p₁-p₃=1-0,3-0,6=0,1.

Пример 2. В некотором испытании возможны три исхода e₁,e₂,е₃. В 1000 повторных испытаниях исход е₁ появляется 350 раз, а исход е₂ – в 40% испытаний. Оцените вероятность исходов испытания.

Решение.

;

;

p₃

1-0,35-0,4=0,25.

Пример 3. В испытании возможны четыре исхода: e₁,e₂,е₃,е₄. Их вероятности соответственно равны p₁=0,2, p₂=0,1, p₃=0,4 и p₄=0,3. Событию А благоприятствуют исходы e₁ и е₄, а событию В – исходы e₂,е₃ ие_4. Чему равна вероятность событий А и В и вероятность, что события А и В произойдут в испытании вместе?

Решение. P(A)= p₁+ p₄=0,2+0,3=0,5;

P(B)= p₂+ p₃+ p₄= 0,1+0,4+0,3=0,8;

P(A,B)= p₄=0,3.

Пример 4. Чему равна вероятность извлечь наугад белый шар из урны, в которой лежат четыре белых и пять черных шаров?

Решение. Пусть событие А – извлечение белого шара. Тогда число всех исходов испытания m=9, число исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, равно 4 (l=4) и P(A)=