Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе (стр. 14 из 19)

Во втором решении стержень, закрепленный на шарнире, расположенном в одной из точек окружности, заставляют совершать колебания размером не более 180⁰ (рис. 7, б). При этом предполагается, что остановка стержня внутри дуги окружности длины h зависит только от длины дуги, но не от ее положения. Таким образом, равновероятным событиям считаются остановки стержня в любых дугах окружности одинаковой длины. Несогласованность определений вероятности в первом и во втором решениях становится совершенно очевидным после такого простого расчета. Вероятность того, что стержень остановится в промежутке от A до x, согласно первому решению равна

Вероятность того, что проекция точки пересечения стержня с окружностью во втором решении попадет в тот же интервал, как показывают элементарно – геометрические подсчеты, равна

при

и

при

а) б) в)

Рис. 7.

Наконец, в третьем решении мы бросаем на удачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятности попадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис. 7, в).

Различие постановок задач во всех трех случаях совершенно очевидно.

3) Ученик.Задача Бюффона. Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2а. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l (l< а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Обозначим через x расстояние от центра до ближайшей параллели и через –

угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины x и полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами a и . Из рис. 8 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы

Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 9 области к площади прямоугольника

Заметим, что задача Бюффона является исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры наряда.

Рис. 8. Рис. 9.

Полученная формула была использована для опытного определения приближенного значения числа

. Таких опытов с бросанием иглы было проведено довольно много. Мы приведем результаты лишь некоторых из них:

Экспериментатор	Год	Число бросаний иглы	Экспериментательное число
Вольф	1850	5000	3,1596
Смит	1855	3204	3, 1553
Фокс	1894	1120	3, 1419
Лаццарини	1901	3408	3, 1415929

Так как из полученной нами формулы следует равенство

то при большом числе бросаний n приближенно

где m – число происшедших при этом пересечений.

Заметим, что в результате Фокса и Лаццарини заслуживают малого доверия. Действительно, в опыте Лаццарини значение

получилось с шестью точными знаками после запятой. Изменение числа пересечений ( числа m ) на единицу меняет по меньшей мере четвертый десятичный знак, если n меньше 5000. В самом деле ( ).

4) Учитель.В XX веке интерес к геометрической вероятности не ослабел, а вырос, поскольку, помимо чисто математического интереса, они приобрели и серьезное прикладное значение. Схема геометрических вероятностей успешно применяется в астрономии, атомной физике, биологии, кристаллографии.

Современное развитие теории вероятностей характерно всеобщим подъемом интереса к ней и резким расширением круга ее практических применений. За последние десятилетия теория вероятностей превратилась в одну из наиболее быстро развивающихся наук, теснейшим образом связанную с потребностями практики и техники.

5. Итоги урока. Учитель обобщает изученный материал:

Замечание 1. Приведенные определения для вычисления геометрической вероятности в начале урока (формула (5)) являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g—часть области G, равна

Р = mesg/mesG.

Замечание 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

6. Постановка домашнего задания.

Задание. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g) Sg=

Площадь большого круга (фигуры G)

Искомая вероятность Р=

3.5 Основы теории вероятностей. Урок – консультация

На уроках данного типа проводится целенаправленная работа по ликвидации пробелов в знаниях учащихся, концентрируется внимание учащихся на главных и существенных моментах изучаемой темы, вырабатываются умения учиться, обобщается и систематизируется материал. Учитель на таких занятиях анализирует подробно ответы всех учеников, такой анализ повышает интерес школьников к работе, подводит каждого из них к пониманию пробелов или достижений, к необходимости работать над преодолением недостатков. В зависимости от содержания и назначения выделяют тематические и целевые уроки-консультации. Тематические проводятся либо по каждой теме, либо по наиболее значимым, сложным вопросам программного материала. Целевые консультации входят в систему подготовки, подведения итогов самостоятельных и контрольных работ, зачетов, экзаменов. Это могут быть уроки работы над ошибками, уроки анализа какой-то творческой деятельности или подготовки учащихся к семинару. На консультациях сочетаются различные формы работы с учащимися: коллективные, групповые и индивидуальные.

Готовится к урокам-консультациям необходимо как учащимся, так и учителю. Учитель систематизирует затруднения, недочеты, ошибки в устных и письменных ответах учеников. Делает логико-дидактический анализ темы, на этой основе уточняет перечень возможных вопросов, которые будут рассмотрены на консультации. Ребята приучаются в свою очередь готовиться к консультациям - сроки, вопросы и задания которых заранее объявляются.

На первых уроках-консультациях учащиеся затрудняются задавать вопросы, поэтому их нужно заранее приучать к этому. Можно накануне дать задание каждому составить карточки неясных вопросов, поработать с учебником, заново прочитать текст и записать непонятное. Самому же учителю к первым урокам-консультациям необходимо готовить вопросы, прогнозируя на них затруднение у учащихся, ошибки в ответах. Учителю необходимо уточнить перечень возможных вопросов, которые будут рассмотрены на уроке, обобщить в единые блоки по сходственным идеям, отобрать наиболее значимые и существенные, перенеся остальные на другие формы дополнительных занятий с учащимися. Хорошо когда вместо предложенных заданий учитель решает более общую задачу, когда идет поиск ответа на поставленный вопрос и он становится общим делом в деятельности учителя и учеников.

В ходе урока-консультации учитель получает возможность узнать учеников с лучшей стороны, пополнить сведения о желании их продвижения, выявить наиболее любознательных и пассивных, поддержать и помочь тем, кто испытывает затруднения.

Урок-консультация

Тема урока: Основы теории вероятностей.