Методическое наследие Ф.В. Филипповича (стр. 9 из 10)

При помощи таких конкретных задач можно одолеть и другие методические трудности в начале учения о производной, вроде, например, того, что: 1) отношение двух бесконечно малых может быть равно конечному; и 2) предел отношения

при приближении Δх к нулю для данной зависимости между у и х может быть вычислен.

Аналогично выше приведенному [изложению] и задача о направлении касательной к параболе и т.п. должна показать учащимся, как можно подойти к производной с геометрической точки зрения. Графически изображая какую-нибудь математическую функцию (например, у=х²) и определяя направление касательной при помощи тангенса угла, образуемого касательной с осью х, ученики приходят к заключению, что истинная скорость изменения ординат кривой в какой-нибудь точке равна угловому коэффициенту касательной.

Сравнивая на частных случаях и числовых примерах полученные результаты: угловой коэффициент

т.е.,

мы должны из этого извлечь в чистом математическом виде понятие о производной. Следовательно, после разнообразных частных примеров и применений производных, мы обобщаем понятие о производной в виде формулы

Авторы русских учебников начинают антипедагогично понятие о производной, т.е., с конца: дают определение производной при помощи отношения

, а потом следуют примеры на отыскание производной и дифференциала.

Итак, общее методическое положение, по моему мнению, целесообразно и здесь, при прохождении учения о производной: «Сначала применение, а затем уже правило».[31, 107-108]

Что касается последовательности изложения элементов интегрального исчисления и целесообразности включения в школьный курс понятия определенного интеграла, то автор книги обуславливает это хотя бы тем, что интегральное исчисление дает более эффективные и экономичные методы для подсчета объемов и площадей: «Усилие, требующееся для того, чтобы ознакомиться с производной и интегралом и с тем, как при помощи этих удивительных орудий можно вычислять поверхности и объемы, будет не столь значительным, как те усилия, которые приходится делать для установления равновеликости прямой и наклонной призм или двух пирамид, и затем эти невыносимые объемы тел вращения. По сей день я не знаю выражения объема тела, получающегося при вращении сегмента круга около его диаметра...

Уже и теперь во многих новых немецких и французских учебниках по геометрии убраны громоздкие и схоластические теоремы об объемах пирамид, тел вращения и т.д. Вместо них включены в геометрию метод истощения или закон Кавальери. Так, например, в новом учебнике геометрии Бореля-Штеккеля теоремы об объемах пирамид изложены методом истощения. На русском языке в элементарном курсе геометрии Д. В. Ройтмана измерения объемов некоторых тел проходятся при помощи закона Кавальери. В самом деле, «закон Кавальери», обогативший математику и начинающий собою новую эпоху величайших открытий, сделанных в новейшее время, также удобный для определения площадей и объемов тел. Он заменял собою в течение 50-ти лет с большим успехом интегральное исчисление и поэтому тоже может в курсе геометрии сослужить роль пропедевтики для интегрального исчисления».[31, 109]

В результате автор приходит к выводу, что в первую очередь следует познакомить учащихся с понятием определенного интеграла, а затем неопределенного. Причем, он считает, - с введением строгой дефиниции определенного интеграла на первых порах спешить не стоит.

«С педагогической точки зрения не будет никакой ошибки, если в самом начале не давать точного определения интеграла. Я придерживаюсь того взгляда, что сначала надо определять интеграл как площадь, и лишь когда учащиеся познакомятся с ним побольше, надо дать более точное определение. На основании своей практики позволю сообщить вам, как я подхожу к определенному интегралу.

Сначала ученики чертят прямоугольник с основанием (а-b) на оси X и высотой с на оси У. Разбивая этот прямоугольник на большое число прямоугольников с основанием δх и высотой с, мы получаем, что площадь его выражается следующей формулой:

.

2) После прямоугольника переходим к площади трапеции. Чертим прямую у=тх и после некоторых суммирований и нетрудных преобразований получаем формулу для площади трапеции:

Обобщая все эти частные случаи, мы, в конце концов, получаем известную формулу интегрального исчисления:

и т.д.

Таким образом «от частного к общему» и от «конкретного к абстрактному» доходим и до других интегралов

А несколько таких интегралов достаточно будет для установления всех объемов и площадей элементарной геометрии.

В VIII классе я излагаю второй цикл интегрального исчисления. Но и здесь я считаю целесообразным подчеркивать все время на частных примерах, задачах из естествознания сущность задачи интегрального исчисления: зная бесконечно малые изменения одной переменной величины, которые соответствуют бесконечно малым изменениям другой (производную), найти функциональное отношение, которое имеет место между этими двумя величинами, т.е., найти закон, управляющий общим ходом явления (интеграл).

Что касается понятия о дифференциале, я не могу согласиться с авторами русских учебников по анализу, что дифференциал следует определять сразу после производной. Помня общее дидактическое положение - «по одной трудности зараз», - я откладываю понятие о дифференциале до тех пор, пока он нам не понадобится. А это как раз наступит тогда, когда мы подойдем к изучению неопределенных интегралов.

Так как цель анализа бесконечно малых в средней школе не только формальная - расширение кругозора наших учащихся, но и материальная, то необходимо, чтобы учащиеся на конкретных примерах из естествознания и техники усвоили и верно поняли идеи, методы и некоторые навыки, необходимые для изучения явлений природы и современной техники. В зависимости от этого и определяется содержание и методика анализа бесконечно малых в средней школе.

По дифференциальному исчислению: производные простейших функций, встречаемых в естествознании и технике, maximum и minimum в связи с исследованием функций, уравнение касательной. По интегральному исчислению: понятие об определенном интеграле, основные формулы интегрирования

понятие о дифференциале функции и неопределенном интеграле, простейшие приемы интегрирования.

Под конец - понятие о дифференциальном уравнении как высшее обобщение в анализе функций одного независимого переменного. Дифференциальные уравнения дают верное представление «о необъятной приложимости основных построений анализа бесконечно малых, составляющего, без сомнения, самую возвышенную из абстракций, до которых когда-либо поднималась мысль человека», [говорил] О.Конт.

Относительно методики анализа могу сказать, что я в своей практике не останавливался детально ни на теории пределов, ни на непрерывности функций. Я добивался отчетливых понятий у учащихся, а механическая часть, относящаяся к дифференцированию и интегрированию, имела у меня второстепенное значение. Строгих аналитических доказательств я избегал и их заменял графическими иллюстрациями.

С таким небольшим содержанием курса анализа бесконечно малых можно решать массу трудных и важных задач как в научном, так и в практическом отношении. Интерес, возбуждаемый в учениках этими задачами, отражается и на их успешности по другим отделам математики». [31, 109 – 111]

Таким образом, Ф.В.Филиппович предвосхитил идеи о концентрическом изложении материала, интеграции элементов математического анализа с курсом алгебры и геометрии. Как известно, все эти идеи были реализованы в советское время, а особенно активно в период колмогоровских реформ. В своих исследованиях Ф.Филиппович иногда ошибался, некоторые положения его работ неполны и устарели, но большинство из них, несомненно, составляют золотой фонд отечественной педагогической мысли.[3, 47-57]

Заключение

Методика математики в России развивалась в трудные времена общей экономической отсталости страны.

Вклад русского народа в методику математики является неоспоримым и представляет большую ценность.

Иностранная учебная литература в XIX в. была вытеснена из школы. Выдающиеся русские педагоги-математики с большим талантом подходили к критике иностранных источников, причём наступление велось против той базы идеалистической философии, на которой основывались эти источники.