Решение задач на экстремум (стр. 3 из 16)

Расстояние от пункта А до В 4 км, а от В до С в двое больше. Какое наибольшее и наименьшее расстояние может быть от пункта А до пункта С.

Решение:

Расстояние АС зависит от места расположения точки С. Так как расстояние ЕС постоянное, то точка С принадлежит точкам окружности с

R = BC, В - центр. Легко заметить какие граничные значения может принимать АС,4 = АС2 < AСi <АВ + BCi= 12.

Отсюда, наибольшее: [АСi] = 12км;

наименьшее: [АСi ] = 4 км.

Искомыми точками Сi являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в точке В.

Пример 2:

На озере, имеющем форму круга, расположен объект длиной ОА. В каком месте на берегу должен остановиться наблюдатель, чтобы наилучшим образом рассмотреть объект ОА (О - центр круга)?

Решение:

Пусть М - произвольная точка окружности k. Ставится задача оценить величину угла AMiO.

Если M

k, а С МiА и МiА ОС, то

0° < АМiO < AM'О так как ОС ≤ ОА.

Задача имеет два решения:

max(

AMiO) = AM'О= AM'iО,

где ОА

M'M'i

Пример 3:

Рассмотрим еще задачу об экономном расходовании материалов. Попытаемся установить, для какой крыши (двускатной или четырехскатной) потребуется больше кровельного материала.

Решение:

Будем считать, что оба ската двускатной крыши наклонены к горизонтальной плоскости под углом φ, скаты 1 и 2 четырехскатной крыши – под тем же углом φ, а 3 и 4 – под углом α. При этих предположениях и указанных на чертеже размерах площадь двускатной крыши будет равна

, а четырехскатной - . Для сравнения этих площадей рассмотрим разность их . Здесь b>0, m>0, 0<α<900 и 0<φ<900. Поэтому при α<φ получим S2-S1<0, при α=φ будем иметь S2-S1=0, а при α>φS2-S1<0. Следовательно, если все скаты как двускатной, так и четырехскатной крыш будут одинаково наклонены к горизонтальной плоскости, то кровельного материала понадобится одинаково на обе крыши. Если же скаты 3 и 4 четырехскатной крыши будут иметь больший угол наклона, чем скаты 1 и 2, то для четырехскатной крыши кровельного материала понадобится больше, чем для двускатной, а при меньшем угле – меньше.

Алгебраический подход к решению задач

Встречаются такие задачи на отыскание наибольшей и наименьшей величины, которые оптимальнее всего решать методами элементарной математики.

Использование квадратичной функции

При решении задач этим методом мы будем опираться на следующую теорему:

Теорема 1. Функция ах2 + вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а<0 - наибольшее значение, равное тоже (4ас-b2)/4. Эти наименьшие и наибольшие значения получаются при х = - b/2а.

Доказывается эта теорема с помощью выделения полного квадрата. Приведем примеры.

Пример:

Найти наименьшее значение функции

и построить ее график.

Поиски решения.

Данную функцию можно изобразить аналитически так:

Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.

Решение:

Очевидно, что

Обозначив дробь

буквой u, получим:

Искомое наименьшее значение равно

и получается оно при т.е. при

х = 1

Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой

х	-3	-2	-3/2	-1	-1/2	0	1	2	3	…
у	7/4	3	7	Х	3	1	3/4	7/9	13/16	…

Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.

Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что

Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к 1.

Пример 2:

Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам.

Спрашивается, какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей?

Поиски решения.

Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначить эти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и у ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двух переменных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р.

Решение.

Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P - 2x. Площадь сечения будет равна х (Р - 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р - 2х), которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх. Очевидно, что

Отсюда видно, что наибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х = Р/4. Тогда окажется ширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8.

Пример 3:

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=4x+6|x-2|-x2 на отрезке [-1;3].

Решение:

y=-( x2-4x+4-4)+ 6|x-2|=-(x-2)2 +6|x-2|+4. Так как а2=|а|2, то

y= -|x-2|2+6|x-2|+4. Пусть t=|x-2|. Поскольку -1 ≤ х ≤ 3, то 0 ≤ t ≤ 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно,

miny(t)=y(0)=4, maxy(t)=y(3)=13.

[0;3] [0;3]

Если t=0, то x=2. Если t=3, то |x-2|=3

Но по условию х

[-1;3], поэтому остается только значение х=-1.

Ответ: miny(х)=y(2)=4, maxy(х)=y(-1)=13.

[-1;3] [-1;3]

Оценок и неравенств

Теорема 2.

Функция х +

, где а > 0 и x > 0, имеет наименьшее значение равное 2 . Это наименьшее значение получается при х = .

или

Очевидно, что

.

Отсюда следует, что наименьшее значение получается при х – 2 =

, т.е. при х = 6, а само наименьшее значение равно 10.

Теорема 3.

Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство.

Пусть х и у - положительные переменные величины и пусть х + у = с, где с - постоянная величина. Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим:

или, наконец,

Отсюда очевидно, что наибольшее значение произведения ху равно с2/4 и получается оно при х = у.

Теорема 4.

Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения. (Эта теорема является обобщением теоремы 3.)

Доказательство.

Пусть х1, х2, …, хn - положительные переменные величины и пусть х1 + х2 + … + хn = с, где с - постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем: