Решение задач на экстремум (стр. 15 из 16)

Решение:

Пусть х и у – линейные размеры участка в метрах, тогда площадь участка есть

, откуда . длина всего забора выразится функцией

причем по смыслу задачи x>0.

Далее имеем

откуда при (поскольку x>0). Если 0<x<14, то ; если же x>14, то ; поэтому x=14 есть точка минимума функции . в результате получаем, что x=14, у=21.

Ответ: x=14, у=21.

Задача2.

Число 81 разбить на 3 положительных сомножителя так, чтобы два из них относились как два к одном у, а сумма трех сомножителей была наименьшей.

Решение:

Обозначим первое слагаемое за х. Тогда второе слагаемое выразится как 2х, а третье 81/2х2. Найдем сумму слагаемых S. S=3х+81/2х2. Найдем наименьшее значение функции S. Для этого найдем производную S'=3-81/х3=0 => х=3- минимальное значение функции. Тогда второе число 6, третье число 4,5.

Задача3.

Из квадратного листа железа со стороной а, надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки, чтобы ее объем был максимальным.

Решение:

Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны S (а -х), а объем коробки равен S (а –х)х2 на интервале (0, а). Таким образом задачу мы свели к следующей задачи: найти наибольшее значение функции V(x)=1/2(a - x)x2 на интервале (0, а). Находим критические точки функции : V/ (x) = ax – 3/2 x2, ax – 3/2 x2=0, т.е. х=0 или х=2/3 а V(2/3а) =1/2(a -2/3a)(2/3a)2= 2/27 a3. Т.к. V(0)=0 и V(a) =0, своего наибольшего значения на отрезке функция достигает при х =2/3а, т.е. maxV(x) =2/27 a3.

Полученный результат означает, что максимальный объем имеет коробка со стороной основания 2/3 а.

II уровень сложности

Задача 1.

В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом

вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение:

По условию, АВ=24см,

, откуда . Пусть и - линейные размеры прямоугольника MNKL (в сантиметрах). Выразим через .

Из

: ; из : ;тогда .

Площадь прямоугольника MNKL выразится функцией

.

Далее имеем

, откуда при . Если , то , а если , то , т.е. – точка максимума функции . Итак, длины сторон искомого прямоугольника равны см и см.

Ответ:

и 12 см.

Задача 2.

Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью

км/ч. После того как он отошел от А на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в А со скоростью 4 км/ч. При каком значении время прогулки окажется наименьшим?

Решение:

Время, за которое велосипедист догонит пешехода, составит

. До встречи пешеход находился в пути и прошел . Этот же путь они преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км /ч и затратили время Тогда время, затраченное пешеходом на всю прогулку, выразится функцией

где

>0.

Находим

откуда

при =6. Легко установить, что =6 – точка минимума функции .

Итак, пешеход затратит на прогулку наименьшее время, если первоначально будет идти со скоростью 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч

Задача 3.

Площадь прямоугольного треугольника 16 см2 какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов построенных на его сторонах была наименьшей?

Решение:

Обозначим один из катетов треугольника за х, тогда второй равен

из теоремы Пифагора находим третью сторону - . Тогда искомая функция:

у =х2+

+ х2+ ,

исследуя эту функцию находим miny=4

. Откуда получаем искомые стороны треугольника: 4 ; 4 ; 8.

III уровень сложности.

Задача 1.

Каков должен быть радиус основания открытого цилиндрического бака , имеющего приданном объеме V наименьшую площадь основания?

Решение:

S=2πRH+ πR2, V= πR2H,

H=

S=2πR

+ 2πR2 = + πR2 , S/=- + πR;

S/=0; 2πR=

, V = πR3 R =

Задача 2.

Найти длину боковой стороны трапеции имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной площадью, углом между боковой стороной и нижним основанием.

Решение:

Пусть высота трапеции – х.

Тогда:

Из

:

По условию

;

Покажем, что при этих условиях периметр минимальный

а) пусть

, тогда